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小波理论在微分方程数值求解中的应用

周宏宇  
【摘要】: 小波作为一个新兴的数学分支,应起始于S.Mallat和Y.Meyer在八十年代中后期所作的工作,即构造小波基的通用方法,多分辨分析MRA。此后小波得到了迅猛的发展,在应用方面更是掀起了一股应用小波的热潮,如信号处理、图像分析、奇性检测、边缘分析、微分方程数值求解等。本文研究了小波理论的有关知识在微分方程数值求解中的一些应用,具体研究内容包括以下几个方面: 第一章简要综述小波分析的发展历程及其在微分方程数值求解方面的应用。 第二章详细分析涉及本课题的小波基本理论和算法,如多分辨分析理论,Mallat算法等。 第三章在对Daubechies小波作比较详细介绍的同时,引入了周期化的Daubechies小波和一些基于小波的微分方程数值求解方面的相关理论知识,为第四章中的微分方程数值求解做好铺垫。 第四章首先基于小波-伽辽金法数值求解了具有周期边界条件的一维Helmholtz方程,然后将小波-伽辽金法和向后的Euler法相结合数值求解了具有周期初边界条件的一维热传导方程;最后提出小波最优有限差分法(该方法的本质是先基于小波生成一个不规则网格,然后再在不规则网格上利用有限差分法对偏微分方程进行数值求解),将它用于具有周期初边界条件的非线性Burgers方程的数值求解,并和直线法的求解结果进行对比,显示了该方法在数值求解有局部急剧变化解的非线性偏微分方程的巨大潜力。 通过一些数值试验表明:基于小波的微分方程数值求解不仅可以得到高精度的数值解(通过对具有解析解的Helmholtz方程验证得到)和对规模较大的问题能够进行很好的处理(通过对具有解析解的热传导方程验证得到),而且对解具有奇异性的非线性问题也能进行很好的数值模拟(通过对非线性Burgers方程的验证得到),同时在求解效率上较之其他一些解决此类问题(非线性)的方法(如直线法)有很大提高,充分显示了基于小波算法的优越性。


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