变分不等式及其相关问题的算法研究

【摘要】：变分不等式、非线性互补和极大单调包含问题有着广泛的应用背景,得到了学者的广泛兴趣和高度重视.这三类问题有着密切的联系,非线性互补问题是变分不等式的一个特殊情形,变分不等式又是包含问题的一个特例.投影算法是求解这三类问题的一类有效方法,这类方法不涉及所讨论函数的导数信息和其他复杂的运算,适用于约束集相对简单的大规模问题.本文研究了这三类问题的投影算法,主要从算法的设计、收敛性分析和数值效果等方面进行了研究,所取得的主要研究成果如下: 1. Korpelevich外梯度法是求解变分不等式的一类有效方法,受该方法的启发,提出了一种求解变分不等式的预测校正投影算法.在对函数进行协强制性条件的假设下,证明了该算法全局收敛.在适当的假设下,证明了该算法是线性收敛的.数值实验结果表明了该算法的有效性. 2.提出了一种求解多面体上的变分不等式的LQP算法.首先,将多面体上的变分不等式添加一个Lagrange乘子,使其转化为一个等价的非负卦限上的变分不等式.然后,提出一种LQP预测校正投影算法求解该等价问题从而获得原问题的解.当函数满足连续和单调性条件时,证明了该算法具有全局收敛性.数值实验结果表明,该算法是可行的和有效的. 3.非线性互补问题是变分不等式在有效域为第一卦限时的特殊情形,是一类极其重要的优化问题.基于经典的LQP算法,提出了两种求解非线性互补问题的投影算法.当函数连续拟单调时,分别证明了这两种算法具有全局收敛性.数值实验结果表明了所提算法的有效性. 4.邻近点算法是求解极大单调包含问题的一类经典算法.该算法简单,但不易执行.基于邻近点算法,提出了一种求解欧氏空间中的极大单调包含问题的预测校正投影算法.该算法首先在一个放松的误差准则下近似求解邻近点算法得到预测点,然后采用当前迭代点的一个凸组合校正该点得到新的迭代点.一些已有算法可以看作是该算法的特殊情形.在仅要求解集非空的前提下,证明了该算法是全局收敛的.数值实验结果表明所提出的算法是可行、有效的. 5.基于经典的邻近点算法,采用当前迭代点的一个凸组合作为校正步,提出了一种求解Hilbert空间中的极大单调包含问题的投影算法.和一些已有算法相比,该算法更加有效地利用了当前迭代点的信息.在仅要求解集非空的前提下,证明了该算法是强收敛的.在实际执行方面,给出了该算法在求解凸规划和广义变分不等式时的应用.同时,提出了一种Mann型迭代算法,并证明了它的弱收敛性.