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几类分数阶非线性微分方程解的存在理论及应用

王国涛  
【摘要】:分数阶微分方程正在工程等许多应用科学领域有着越来越多的应用,如物理学、化学、空气动力学、控制论、信号和图像处理、生物物理学、复杂介质动力学等.本论文主要调查了一类分数阶非线性微分(积-微分)方程和方程组,无界域上的分数阶非线性微分方程以及带有多个不同分数阶导数和积分的非线性脉冲微分方程解的存在性、唯一性、多解性、特征值区间以及收敛到相应方程解的单调迭代序列和误差估计等,全文共分五章.第一章,前言部分,主要陈述了分数阶非线性微分方程理论的研究背景与现状,介绍了本文的选题来源、研究意义以及论文的主要研究内容和目标.第二章,首先利用单调迭代方法,研究了一类具有两个不同Riemann-Liouville分数导数的非线性中立型微分方程唯一解的存在性并给出了逼近唯一解的单调迭代序列和相应误差估计式.其次,应用结合单调迭代技巧的上下解方法,给出了一个非线性中立型分数阶耦合系统极值解的存在条件和相应单调迭代序列.本章的结果推广并改进了某些已有的结果.第三章,首先研究了一类Riemann-Liouville型非线性分数阶微分方程积分边值问题正解的存在性,通过应用上下解方法和锥上的不动点定理,给出了该积分边值问题至少一个正解和唯一正解存在性条件.其次,研究一类Caputo型非线性分数阶微分方程积分边值问题正解的存在性与非存在性,通过应用范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理,给出了该积分边值问题至少一个正解存在性与非存在性的特征值区间,进一步地,根据特征值?的变化范围,给出了该非线性积分边值问题至少一个正解的存在性与非存在性条件.第四章,利用算子理论和单调迭代方法研究了一类无界域上非线性分数阶微分方程多点边值问题最小、最大正解的存在性问题.本章不仅给出最小、最大正解的存在性条件,而且给出了两个可计算的一致收敛到最小、最大正解的迭代逼近序列,本章结果极大地提高和改进了已有文献的结果.第五章,利用Schauder不动点定理和Banach压缩映射原理,本章研究了一带有多阶分数导数和扰动项的非线性脉冲微分方程分数积分边值问题,给出了相应线性脉冲微分方程分数积分边值问题的Green函数,在合适的条件下,获得了多阶分数阶非线性脉冲微分方程至少一个解和唯一解存在的条件,对某些已有结果作了进一步推广和改进.


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