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几类分数阶微分方程的近似解析解

王康乐  
【摘要】:在近几十年里,分数阶导数越来越引起数学家与物理学家的关注。分数阶导数的定义有二十种之多,最常被人使用的有:Riemann-Liouville定义,Caputo定义,Jumare’s定义和Conformable定义等。随着分数阶导数的发展,很多物理工程上的数学模型都可以最终转换成为分数阶微分方程的定解问题,例如:控制论和智能机器人、系统处理和信号识别、热学和光学系统、材料科学及力学和材料系统等。但是,我们要想找到分数阶微分方程的精确解是相当困难的事情,从而人们转向求分数阶微分方程的近似解析解。因此,一些逼近方法被应用于求解分数阶微分方程。目前,在求解分数阶微分方程中比较有效的逼近方法有:同伦摄动法(HPM),同伦分析法(HAM),Adomian分解法(ADM),变分迭代法(VIM),有限元方法,有限差分方法,线性多步算法和小波分析方法等。对于上述算法都有其自身的优点与局限性。在本文中,我们结合了分数阶Sumudu变换和分数阶Elzaki变换,建立了几种新的分数阶微分方程的逼近算法,这些新的算法被成功地应用于求不同类型的分数阶微分方程的近似解析解,通过将新的算法所得逼近解与已有的结果比较,得出我们建立的新的逼近算法具有计算简单、有效、精确度更高等优点。在本文中我们也成功建立了求解局部分数阶微分方程逼近解的新算法。本文所建立的四种求分数阶微分方程近似解析解的算法如下:1.分数阶同伦分析变换算法(FHATM)。分数阶同伦分析变换算法(FHATM)的优点是所求分数阶微分方程的逼近解被辅助参数h所控制,合适的选取h的值将大大加速逼近解的收敛速度,在分数阶同伦分析变换算法中我们加入了分数阶Elzaki变换,使得求解过程简单快捷,通过和传统的经典算法比较可以得出:一些经典的算法可归结为分数阶同伦分析变换算法(FHATM)。我们使用分数阶同伦分析变换算法(FHATM)成功求解非线性的时间分数阶Fornberg-Whitham方程,二维时间分数阶扩散方程,二维时间分数阶波方程和三维时间分数阶扩散方程。2.新的迭代变换算法(NITM)。新的迭代变换算法(NITM)的优点是简单,高效,不需要太多的基础预备知识,且新的迭代变换算法(NITM)所求分数阶微分方程的逼近解的精确度明显高于已有经典算法。我们使用新的迭代变换算法(NITM)求解非线性分数阶的Fornberg-Whitham方程,齐次和非齐次的空间分数阶电报方程,分数阶Cauchy扩散方程,非线性分数阶对流扩散方程,二维分数阶波方程和三维时间分数阶扩散方程。3.分数阶降微分转换方法(FRDTM)。分数阶降微分转换算法具有高效,简单等优点。我们成功应用分数阶降微分转换算法(FRDTM)获得了分数阶Navier-Stokes方程的近似解析解。4.局部分数阶微分方程算法。该算法的思想是把分数阶复变换(FCT)与经典分数阶微分方程算法相结合来求解局部分数阶微分方程。我们运用该方法分别成功地获得了局部分数阶Bratu-型方程,局部非线性分数阶热传导方程和局部非线性分数阶多孔介质方程的逼近解。


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