半定规划的算法及其在组合优化中的应用

【摘要】： 半定规划是线性规划的推广，它是在线性规划中用矩阵变量取代向量变量、 用矩阵的半正定性取代向量的非负性而得到的，其约束是非线性、非光滑的，但 却是凸的，因而半定规划是凸规划。由于半定规划不仅在系统论、控制论、组合优 化、特征值优化等诸多领域中有着广泛的应用，而且使线性规划、二次规划等典 型问题成为其特例，近年来备受人们的重视，已成为数学规划领域研究的一个新 方向。本文工作包括以下三个方面： 1．根据半定规划最优性条件与变分不等式的等价关系，得到求解半定规划的一个 新的投影算法，并给出数值实验和收敛性证明。 2．首先将半定规划的摄动最优性条件转化成最小二乘问题，通过求解此问题获得 新的原-对偶搜索方向，即Gauss-Newton方向。并基于此方向给出求解半定规 划的原-对偶路径跟踪算法及收敛性证明，数值实验表明Gauss-Newton方向具 有比其他方向更好的数值稳定性。 3．对一些组合优化问题，在已知半定规划模型基础上，通过增加非线性约束，利 用二次提升得到它们的强化半定规划松弛，理论和数值实验表明强化半定规划 松弛给出原问题更好的上界。