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半定规划的算法及其在组合优化中的应用

徐凤敏  
【摘要】: 半定规划是线性规划的推广,它是在线性规划中用矩阵变量取代向量变量、 用矩阵的半正定性取代向量的非负性而得到的,其约束是非线性、非光滑的,但 却是凸的,因而半定规划是凸规划。由于半定规划不仅在系统论、控制论、组合优 化、特征值优化等诸多领域中有着广泛的应用,而且使线性规划、二次规划等典 型问题成为其特例,近年来备受人们的重视,已成为数学规划领域研究的一个新 方向。本文工作包括以下三个方面: 1.根据半定规划最优性条件与变分不等式的等价关系,得到求解半定规划的一个 新的投影算法,并给出数值实验和收敛性证明。 2.首先将半定规划的摄动最优性条件转化成最小二乘问题,通过求解此问题获得 新的原-对偶搜索方向,即Gauss-Newton方向。并基于此方向给出求解半定规 划的原-对偶路径跟踪算法及收敛性证明,数值实验表明Gauss-Newton方向具 有比其他方向更好的数值稳定性。 3.对一些组合优化问题,在已知半定规划模型基础上,通过增加非线性约束,利 用二次提升得到它们的强化半定规划松弛,理论和数值实验表明强化半定规划 松弛给出原问题更好的上界。


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