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正交表的构造方法及其应用

庞善起  
【摘要】: 正交表在统计上是必不可少的,而且被用于计算机科学和密码学。正交表在统计上主要用于试验设计,这意味着正交表在人类研究的各个领域都非常重要。例如工业、农业、质量控制和产品改进。正交表在试验设计方面广泛流行的原因之一是它能够用作正交主效应设计。混合正交表的魅力在于它有较大的灵活性,允许试验因素具有不同水平数,因此得到了越来越多的关注。正交表不但非常有用,而且十分优美,它的数学理论涉及组合数学、有限域、几何和纠错码等领域。它的定义简单而自然,我们知道它许多优美的构造,然而也有大量的问题尚未解决。怎样为实际的应用构造特定的正交表在大多数情况下仍然是一个开问题。 本文利用矩阵理论和有限域理论,研究了投影矩阵、置换矩阵、差集矩阵、Hadamard积、广义的Hadamard积、Kronecker积,Kronecker和、广义的Kronecker和在构造正交表方面的应用。给出了正交表特别是混合正交表的一些新的构造方法,应用这些方法获得了一些新的混合正交表,并且用Matlab列出了它们的具体形式。同时,应用这些方法研究了正交表的组合性质。 具体内容如下: ·进一步研究了由投影矩阵的正交分解构造正交表的方法以及小正交表的矩阵象。结果,构造了大量含有多个6水平列的108次正交表,特别地其中一个表含有11个6水平列,而目前含有相同参数的正交表的试验次数为288。且给出了试验次数为4n~2和9n~2两类正交表的构造。突破了投影矩阵的正交分解方法只构造单一表的局限性,而转化为系列表的构造。 ·在投影矩阵的正交分解中,经常会遇到一类投影矩阵Υ_p(?)I_k(?)Υ_q,本文提出了在各种情况下与这类投影矩阵相关的正交表的构造方法。从而使所构造的正交表具有更高的饱和率。 ·作为投影矩阵的正交分解的一个应用,获得了构造正交表的分层方法的推广形式。研究了用正交表两列的广义Hadamard积构造混合水平正交表的方法。推广正交表两列的广义Hadamard积到正交表的广义Hadamard积,使得所构造的混合水平正交表具有较多的非素数幂水平列。 ·把正交表的广义Hadamard积和用差集矩阵构造混合水平正交表的方法联合起来应用到投影矩阵的正交分解中,使得所构造的正交表具有更多的列。 ·利用有限域理论,把不同水平差集矩阵之间的取模运算关系推广为更加广泛的群同态关系,提出了标准混合差集矩阵的概念,找到了标准混合差集矩阵和混合水 西安电子科技大学博士学位论文:正交表的构造方法及其应用 平正交表的构造之间的关系,提出了利用标准混合差集矩阵构造正交表的方法且 构造了一些新的正交表. ·通过对投影矩阵正交分解的余项进行分析,提出了满意正交表的概念,给出了满 意正交表的一种判别方法,也就是找到了判定一个正交表不能添加新列的充要条 件.为构造饱和或接近饱和的正交表提供了重要依据。 .应用矩阵象的概念研究了正交表的交互作用列及完备的交互作用列的矩阵象的 形式及其性质.给出了判定正交表无完备交互作用列一些方法.进一步揭示了正 交表的组合结构.用这些交互作用列的结果,将Grouping方法由正交表的素数 幂水平列的构造推广到非素数幂水平列的构造上。


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