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一类广义集值变分包含问题的研究

范丽亚  
【摘要】: 集值变分包含问题涉及数理经济学、金融学、控制论、机械学、物理学等学科,是研究多目标规划和多层规划的重要基础和工具,也是目前应用数学领域中备受关注的热点之一。对这一问题的研究涉及到凸分析、线性与非线性分析、非光滑分析、集值分析、偏序理论、图收敛理论等数学分支,有重要的学术价值和相当的难度。 在最优化问题中,弱化目标函数的凸性始终是学者关注的一个热点。同样地,在集值变分包含问题中,弱化集值映射的单调性也是一个重要的研究方向。2000年,Lee和Ding分别介绍了集值映射的η-单调性和真泛函的η-次微分两个概念,同时,Lee还提出了一个公开问题:如果Q∶H→2~H是一个极大η-单调的集值映射,那么rge(I+λQ)=H在什么条件下成立?其中:H是一个实Hilbert空间,η∶H×H→H是一个单值映射,λ>0是任意给定的常数,I和rge(I+λQ)分别表示恒等映射和集值映射I+λQ的值域。 本文主要是从理论和算法两方面较为系统地研究了一类广义集值变分包含问题,它统一和推广了许多已有的变分不等式问题、混合变分不等式问题和变分包含问题。研究分有三个方面:一是借助于偏序理论在有限维欧氏空间中解决了上述公开问题,在此基础上利用集值映射的η-预解算子,研究了广义集值变分包含问题解的存在性、逼近解的全局误差界、参数唯一解的灵敏性,并提出了一类变参数三步迭代算法;二是借助于图收敛理论研究了一般集值变分包含问题解集的凸性、闭性和有界性以及参数解集的灵敏性;三是用分析的方法直接讨论了集值混合拟类变分不等式问题解的存在性并提出了一类求解广义集值变分包含问题的直接变参数三步迭代算法。最后研究了广义集值变分包含问题与非凸规划之间的关系。具体内容如下: ·简单介绍了广义集值变分包含问题的背景、研究现状和数学模型;综述了相关的参考文献。 ·引入了集值映射的η-预解算子概念;借助于偏序理论证明了有限维欧氏空间中的单值映射可同秩Lipschitz连续拓展;讨论了有限维欧氏空间中的极大η-单调集值映射的η-预解算子在什么条件下是整个空间上的一个Lipschitz连续的单值映射,这一结果也在有限维空间上解决了上面提到的公开问题;还讨论了真泛函的η-次微分映射的η-预解算子在什么条件下是整个空间上的一个Lipsehitz连续的单值映射。 ·利用η-预解算子在有限维空间中探讨了集值混合拟类变分不等式问题和广义集值变分包含问题存在唯一解的条件;利用分析的方法在实Hilbert空间中讨论 了集值混合拟类变分不等式问题解集的非空性(不一定只有唯一解)。 ·借助于冲一预解算子研究了有限维欧氏空间中的集值混合类变分不等式问题 和广义集值变分包含问题的全局误差界。 ·借助于图收敛理论证明了有限维欧氏空间中的两个极大单调集值映射的和 映射在较弱条件下仍是极大单调集值映射,并在此基础上讨论了一般集值变分包 含问题解集的凸性、闭性和有界性. ·利用冲一预解算子分析了有限维欧氏空间中的广义参数集值变分包含问题唯 一解的灵敏性;利用预解算子分析了有限维欧氏空间中的一般参数集值变分包含 问题解集的灵敏性。 ·针对求解有限维欧氏空间中的广义集值变分包含问题,提出了基于粉一预解 算子的变参数三步迭代法;针对实Hilbert空间中的广义集值变分包含问题,提出 了直接变参数三步迭代法。 ·讨论了最优化问题中目标函数的广义凸性和集值映射的广义单调性之间的 关系;举例说明了如何将非凸规划问题转化成集值变分包含问题。


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