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区间小波多小波及其在图像处理中的应用研究

张彬  
【摘要】: 随着小波分析研究的不断深入和应用范围的日益扩大,人们对小波基的构造提出了新的要求。在图像处理中,L~2(R)上的小波基因截断误差会在边界处产生失真,为了消除这种边界效应人们需要对其进行改进,这就产生了区间小波的理论。同时人们也希望所用的小波基会同时拥有正交性,对称性,紧支性和高阶消失矩,这又导致了多小波理论的诞生。本文对这两类小波的构造及其在图像去噪方面的应用作了深入的研究,主要内容包括: 讨论了周期小波的一般理论。用样条小波和折叠函数构造了[0,1]上的半正交小波基,给出了相应的分解和重构算法。分析了Daubechies区间正交小波的构造,用类似的方法构造了[0,1]上的双正交小波基。并分别将消失矩为2的Daubechies区间正交小波和消失矩为3的区间双正交小波用软阈值去噪方法对含有加性噪声的图像进行了去噪处理,实验结果表明它们不仅有较好的去噪效果,而且在图像边界无需延拓处理。 研究了尺度向量逼近阶的改进问题。利用双尺度相似变换增加其掩模分解中的因子个数以提高尺度向量的逼近阶,同时保持尺度向量的紧支性和对称性。给出了r=2时,能够保持尺度向量上述特性的变换矩阵的一个简单选取方法,并且利用分形插值函数的伸缩特性,给出了一个尺度向量并推导了其满足的加细方程。选取适当的参数,使其具有对称性并且至少有逼近阶1。选择适当的变换矩阵,对尺度向量进行双尺度相似变换,可以使其具有满意的逼近阶。 利用双尺度相似变换构造了高逼近阶的双正交尺度向量。虽然双尺度相似变换提高了尺度向量的逼近阶,保留了它的对称性和紧支性,同时也改善了它的正则性,但唯独破坏了正交性。在双正交多小波中,对偶尺度向量有多大的逼近阶,多小波函数就有多大的消失矩。我们先对已知的尺度向量进行双尺度相似变换,以提高其逼近阶,再求出变换后的尺度向量的对偶,对这个对偶再进行特定的双尺度相似变换,就可得到原尺度向量的有高逼近阶的对偶,从而可能得到具有高阶消失矩的多小波函数。 讨论了多小波的预滤波器的设计问题。针对于Xia等基于GHM多小波的插值特性而设计的预滤波器,我们给出了一个改进的插值预滤波器。在预滤波器的设计中,能够保持中心滤波器组的正交性和逼近阶是非常重要的。Hardin和Roach设计的具有逼近阶的正交拟插值预滤波器保持了中心滤波器组的正交性和逼近阶,为预滤波器的设计指出了一条正确的方向。 研究了多小波的平衡处理,对低通滤波器P(ω)一般选择平衡器为正交矩阵R,使得常数信号成为平衡后的低通滤波器R~TP(ω)R的特征信号,若要保持矩阵滤波器的正交性和对称性,可选择平衡后的高通滤波器为Q(ω)R;若只保持多小波的正交性,可选择高通滤波器为R~TQ(ω)R。作为应用我们对Jiang构造的OPTFR-多 II 小波进行了平衡处理。用此平衡的矩阵滤波器对图像进行了闽值去噪和融合,其 结果是非常令人满意的。 讨论了具有GMP阶的双正交矩阵滤波器的构造,并利用双正交单小波bior3 .1 构造了具有GMP阶(1,l)的对称反对称的双正交矩阵滤波器组,对该双正交的 矩阵滤波器组进行了平衡处理,并将平衡后的双正交矩阵滤波器组用于图像的分 解和重构,其效果还是令人满意的。 讨论了全插值的双正交多小波的构造,因其分解滤波器和重构滤波器都具有插 值性质,使得我们在应用时无需预滤波处理,这也是全插值多小波的一个突出的 优点。其不足之处是由于设计上的原因,使得低频系数矩阵和高频系数矩阵非常 接近,因而不能对高低频信息进行有效的分离。


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