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二元插值小波、多频率多函数小波、非调和小波及微分方程的小波方法

石智  
【摘要】: 在小波理论的研究及应用方面,小波基的构造是一个重要的研究方向。在一维情形,无论是理论还是应用都得到深入的研究。高维情形的研究也取得进展。本文主要的研究成果是把一维的某些结论推广到高维,分为以下四个方面: (1)使用二元拉格朗日插值法构造二元尺度函数和小波函数,使其具有紧支性、对称性以及函数展开式的系数易于计算等优点。唯一的缺陷是缺乏正交性。该插值方法在构造一维小波函数时,取得良好的效果。本文把一维的相应结论推广到二维,给出了二元插值尺度函数、构造了插值小波函数、研究了插值误差、逼近误差、函数展开式系数的计算等。二元插值小波所涉及的问题基本上都得到解决。 (2)在研究多变量问题时,为了使时频分析具有最大的灵活性,要求每个时间变量都有它自己的尺度参数,鉴于此,本文从尺度函数构成正交基或Riesz基出发,把一维多函数小波推广到二维多频率多函数小波,解决了构造正交或双正交多频率多函数小波所需要的理论依据。 (3)受到非调和Fourier级数的启发,在一维情形研究了当正交小波函数的平移因子出现扰动时,该正交小波函数构成Riesz基的条件。作为应用,用该非调和小波函数逼近一个时频局部化的函数,收到较好的效果。 (4)把小波函数用于微分方程的求解中。首先利用插值小波求解常微分方程,其次,满足边界条件的小波尺度函数,结合Galerkin方法求解结构力学中的微分方程;最后,使用M-尺度函数求解梁结构中的微分方程。数值计算结果也表明了三种算法的有效性。


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