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《西安电子科技大学》 2003年
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矩阵偏序与广义逆

刘晓冀  
【摘要】: Fredholm给出Fredholm积分算子的广义逆,得到了Fredholm积分算子方程的解。Penrose利用四个矩阵方程给出矩阵广义逆的更为简洁定义,此后,矩阵广义逆研究得到了迅速的发展。矩阵广义逆的研究包括环上矩阵的广义逆,范畴中态射的广义逆,广义逆矩阵的计算和广义逆矩阵的应用等。 矩阵的偏序是当前矩阵论研究的一个热点,国内外许多学者从事矩阵偏序的研究,他们研究各种类型的矩阵偏序,并应用到数理统计等学科中。 本文研究了环上矩阵的广义逆,范畴中态射的广义逆,并研究矩阵的偏序。具体内容如下: (1)讨论环上矩阵的广义Moore-Penrose逆,推广了以往文献中的相应结论。利用矩阵的广义奇异值分解,给出了复数域上矩阵Г-逆存在的充要条件,利用矩阵Г-逆研究了矩阵方程APx=b。给出了四元数矩阵加权广义逆的表达式,回答了关于四元数矩阵加权(3,4)和(2,4)逆表达式的公开问题。 (2)研究范畴中具有泛分解态射的Moore-Penrose逆和Drazin逆,给出了Moore-Penrose逆和Drazin逆存在的充要条件及其表达式。当范畴不具有零对象时,以态射偶的等化子为工具讨论态射的广义逆,并在矩阵范畴中建立了齐次线性方程组的解与等化子的关系。首次定义了态射的满单分解序列,利用其给出了态射的Drazin逆存在的充要条件及其表达式。我们考察了预加法范畴中态射的广义逆,利用幂等态射给出了态射广义逆存在的充要条件及其表达式。得到了预加法范畴中态射的柱心-幂零分解存在的充要条件及具体分解方法。定义了态射的加权广义逆,证明它的唯一性,在某些情形下给出了存在的充要条件和表达式。 (3)给出了矩阵的*序、左*序、右*序和减序的更为精细的等价刻画,从而得到了EP矩阵、指标为1的矩阵、Hermmite矩阵和正规矩阵新的等价刻画,由此研究一些特殊矩阵类*序、左*序、右*序和减序之间的一致性。同时讨论了在矩阵偏序意义下矩阵的遗传性。研究矩阵及其平方矩阵偏序之间的关系,解决了J.K.Baksalary和F.Pukesheim提出的公开问题,并推广到更一般的情形,对于一般矩阵同时得到了若干新结果,推广了关于(半)正定矩阵的相应结果。同时,研究特殊矩阵的*序与减序之间的关系,推广了关于Hermmite矩阵的相应结果。考察了矩阵左*序、右*序的性质及其与平方矩阵之间的关系。指出了J.Grob关于广义投影的一个刻画有误,给出了广义投影的等价刻画和进一步的结果。利用矩阵的核心-幂零分解,给出矩阵sharp序的一个新的等价刻画,并讨论sharp序的一些性质。定义矩阵D序并给出了一些刻画和性质。指出了“关于矩阵泛正定与偏序”一文的主要结论不真,分析了原因并给出了正确的结论。 (4)利用加权广义逆定义复数域上矩阵的加权*序,给出它们的若干性质和等价刻划,讨论它们与已有的矩阵偏序之间的关系,并推广关于矩阵*序的有关结果。在两种情形下,利用矩阵的加权Moore-Penrose逆导出了两矩阵和的加权Moore-Penrose逆的公式,其推导证明简洁而直接,文中还给出两矩阵可以同时加权奇异值分解的充要条件,指出了J.K.Baksalary关于矩阵减序和星型序刻 画的一个错误.对于给定的矩阵M、A、B和K,我们定义矩阵的例大一偏序, 利用矩阵的初了一奇异值分解得到这种偏序的一些等价画和重要性质.
【学位授予单位】:西安电子科技大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2003
【分类号】:O151.21

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