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一般变分不等式的算法研究

连军莉  
【摘要】: 一般变分不等式是经典变分不等式的一种极其重要的推广,它为我们研究数学、物理、经济学和工程科学中的许多问题提供了简单的统一框架,也是目前应用数学领域中备受关注的热点之一。 本文较为系统地研究了一般变分不等式问题的算法,其中包括一般单调变分不等式,一般强单调变分不等式,一般伪单调变分不等式和一般集值混合拟变分不等式等,这些一般变分不等式统一和推广了许多已有的变分不等式问题。具体内容如下: 给出了一种解一般变分不等式的改进投影算法。此算法运用自适应过程,产生了一种高效的步长选取策略,提高了投影算法的效率。在算子F为g-强单调的条件下,证明了算法的全局收敛性,并给出了其数值实验结果。 提出了一种新的解一般单调变分不等式的预估-校正投影算法,建立了算法的收敛性定理。该算法采用了非常有效的预估和校正步长准则,大大减少了计算量,并给出了其数值试验结果。 基于算子的分裂技巧,给出了解一般变分不等式的几种新的投影算法,包括三步和k步迭代算法。在算子T是g-伪单调和g-Lipschitz连续的条件下,证明了新算法的收敛性。值得指出的是,这个新算法不同于已有的投影算法,且其收敛性的证明相对其他方法而言更为简单。 利用辅助原理和预解算子技巧,提出了解一般混合集值拟变分不等式的预估-校正算法和三步迭代算法。如果混合集值拟变分不等式中的双函数是斜对称的,则预估—校正算法的收敛性只要求映射是g-局部放松强单调的即可,这是一个比g-强制性更弱的条件。而且,改正了Noor的一些错误;在适当的条件下,证明了三步迭代算法是强收敛的。 利用Chen-Harker-Kanzow-Smale光滑函数提出了一种解箱约束变分不等式的光滑牛顿法。此算法在每一步迭代中只需处理一个光滑函数,不需考虑使近似参数下降的过程,当满足适当条件时算法是全局收敛的。


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