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独立增量随机场的分形性质

陈振龙  
【摘要】:随机分形是融概率论、经典分析和几何学于一体的新兴数学分支。随机过程样本轨道的分形性质是随机分形理论的重要组成部分和活跃的研究方向。鉴于某些独立增量随机过程的很多良好性质和结构,很有必要将其推广到更一般情形而讨论其相关的分形性质。本文主要研究几类随机过程的有关分形性质。具体内容如下: ·研究了N指标d维广义Brownian Sheet的极集的性质,得到了其极集的必要条件与充分条件。同时通过一个特殊的Cantor型集的构造将维数与容度巧妙地结合起来,得到了广义Brownian Sheet极集的Hausdorff维数的下确界。其结论解决了Xiao提出的关于布朗单的极集的维数问题[145]。此结果形式漂亮,对于布朗单也是新的。 ·讨论了N指标d维广义Brownian Sheet极函数的特征,得到了满足Lipschitz条件的连续函数类与广义Brownian Sheet的极函数类之间的关系,给出了广义BrownianSheet不动点的Hausdorff维数和Kolmogorov下熵指数的一个不等式。同时解决了LeGall提出的关于布朗运动非极、连续的H(?)lder函数存在性问题[54]。 ·讨论了N指标d维广义Brownian Sheet象集的有限项代数和的Hausdorff维数、Packing维数、Lebesgue测度及内点的存在性。解决了Mountford提出的关于布朗单象集的内点存在性问题[122]. ·研究了N指标d维广义Brownian Sheet的容度问题。利用鞅的方法讨论了广义布朗单的碰撞概率与容度之间的关系,给出了其碰撞概率的容度估计。同时也讨论了广义布朗单的象集的Lebesgue测度与Bessel-Riesz容度之间的关系,给出了其象集的Bessel-Riesz容度估计。这些结果包含了Brownian Sheet和可加布朗运动的结果,解决了J P Kahane提出的关于可加布朗运动的Bessel-Riesz容度问题[62]。 ·讨论了N指标d维广义α-stable过程的自相交局部时的存在性和联合连续性问题。给出了其自相交局部时平方可积和联合连续的一个充分条件,并通过对广义α-stable过程自相交局部时的H(?)lder条件的讨论,证明了其重点的存在性,得到了广义α-stable过程多重时的Hausdorff维数及测度的下界。 ·利用N指标d维广义α-stable过程在区域上增量最大值的尾概率分布和逗留时分布,得到了未必具有随机一致H(?)lder条件的广义α-stable过程象集、图集的一致Hausdorff维数和一致Packing维数的上、下界。 ·研究了某些具有强局部不确定性的Gaussian随机场的Hausdorff测度和Hausdorff型测度。给出了其图集的确切Hausdorff测度,象集和图集的确切Hausdorff型测度及其估计,证明了象集和图集的Hausdorff测度函数仍是Hausdorff型测度函数。在一定条件下,通过一些更小的测度函数给出了象集和图集的有限正的Hausdorff型测度。 西安电子科技大学博士学位论文:独立增t随机场的分形性质 ·研究了分式布朗运动的Packing型测度问题.给出了Packing型测度的定义及性质, 得到了分式Brownian运动的象集和图集的Packing型测度的上、下界.同时也建立 了分式Browllian运动逗留时的hminf型重对数律. ·研究了非退化扩散过程图集、水平集和极集的Hausd。甫维数.给出了比文献【147} 更一般的极性的充分条件,并通过Cantor型集的构造法,得到了既无高斯性,也 无平稳和独立增量性的非退化扩散过程极集的Hausdo甫维数的下确界.同时采用 Testard的方法给出了紧集上非退化扩散过程水平集的Hausdorff维数. 关键词 Hausdorff维数 广义Brownian Sheet 广义a一stable 过程极集容度 paeking型测度 极函数 paeking维数Hausdor仔型测度


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