半定规划的算法研究

【摘要】：半定规划是线性规划的一种推广。近年来其理论和算法取得了很大的进展，并且在组合优化、系统工程和电子工程等领域得到了广泛应用，已成为数学规划领域中一个新的活跃的研究方向。 本文首先介绍了半定规划的基础知识、基本理论、主要算法和研究现状，然后对半定规划的算法作了一些研究，主要内容如下： 1．将非精确算法结合到不可行内点法中，给出了求解半定规划的一种非精确不可行内点法，该算法在迭代中不需要保持迭代点的可行性，而且使用的搜索方向仅需要达到一个相对的精度．本章最后分析了其收敛性，结果表明，该算法最多可以在O(n~2ln(l／ε))步内求出半定规划的一个ε—近似解。 2．引入矩阵值函数的一些相关概念，基于向量空间与矩阵空间之间的同构关系给出了矩阵值函数的一些重要性质，并分析了常用的几种矩阵值函数的强半光滑性。这在半定规划的一些算法的构造及收敛性分析中起关键作用。 3．通过对半定规划的KKT最优性条件的等价转化，得到一个等价的非线性方程组，其中不再含有像x≥0，Z≥0或X＞0，Z＞0这样的不等式约束，用光滑化牛顿法求解该非线性方程组，进而给出求解半定规划的一种光滑化牛顿法，并对其收敛性进行了分析，分析结果表明该算法在适当假设条件下具有二次收敛性。