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时域有限差分法中的不均匀性问题研究

王林年  
【摘要】: 在均匀媒质中或当媒质电磁参数为充分光滑的连续函数时,时域有限差分法(FDTD)具有二阶精度;但在媒质参数有突变的分区均匀媒质中,跨界面差分公式只有一阶精度。是为本文第一类不均匀性问题。本文第二类不均匀性问题为FDTD算法中的非均匀网格,即在电磁波随空间尺度变化较为剧烈的区域局部采用较为细密的网格,以便减小该区域的离散误差。本文第三类不均匀性问题为理想匹配层(PML)非物理媒质。当模拟开区域电磁场问题时,不仅物理媒质,PML吸收媒质也是FDTD的目标媒质。 本文首先研究一维、二维直至三维情况的分区均匀媒质问题,假设分界面两侧媒质具有不同的介电常数和不同的磁导率,采用非均匀网格,通过严格的数学推导将跨界面差分公式的精度提高为二阶;并在此基础上提炼出“电均匀”概念,即分界面两侧对波长归一化后的网格尺寸保持不变。 对无法确定波方向的一般问题,数值实验表明,采用零入射角非均匀网格,反射系数误差与严格“电均匀”网格几乎相同。因此就一般的电磁仿真而言,没有必要追求严格的“电均匀”,而可以在“电均匀”方法基础上灵活确定网格尺寸。此所谓模糊“电均匀”方法。 将单方向跨界面“电均匀”扩展到跨方向“电均匀”,然后采用二者兼备的“完全电均匀”网格,若时间步取稳定性条件允许的最大值,则不仅在均匀媒质中,而且在分区均匀媒质中,可得精确时域有限差分法。此结论适用于一维、二维直至三维。 跨媒质突变面差分公式的精度不论为一阶、二阶,全局精度保持二阶不变;媒质分界面反射系数的精度等级与差分公式的精度等级不同,采用电均匀网格,可得三阶精度反射系数甚至反射系数的精确解,而跨界面差分公式的精度保持二阶不变;全局精度同为二阶,媒质突变面局部精度越高,全局误差越小。 针对将PML技术嫁接到交替方向隐式时域有限差分法(ADI-FDTD)时遇到的困难,提出两种不同的ADI-FDTD公式,二者都可将反射误差减小30dB左右。由于反射误差较小,新方法可用于时间步较大(CFLN≤20)的ADI-FDTD电磁问题分析。


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