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半定规划及其应用研究

蒋耀伟  
【摘要】: 半定规划是线性规划的一种推广.随着线性规划的内点算法到半定规划的成功推广,近些年来半定规划的理论和算法取得了很大进展,应用领域不断扩展.半定规划在组合优化、控制论、系统论、滤波器的设计、临床医学以及移动通信等方面都有很广泛的应用,它已逐渐成为数学规划领域中一个非常活跃的研究方向. 本文首先介绍了半定规划的基础知识,包括其基本理论、算法、研究现状和意义等,然后在半定规划的算法和应用问题方面做了一些工作,具体如下: 1、基于二次{-1,1}规划已有的半定规划松弛模型,给出了它的二次规划松弛模型.它能给出比半定规划模型更好的界,然后用分支定界法求解这个模型.并用理论和数值实验验证了算法的有效性. 2、利用分支定界方法研究了离散系数滤波器设计问题和图的最大二等分问题.数值实验表明:对于小规模的离散系数滤波器设计问题,分支定界方法所得到的次优解的性能要比直接利用随机扰动算法好得多,而且所设计离散系数滤波器与理想滤波器的最小二乘误差也非常小.对于中小规模的最大二等分问题,分支定界方法能够给出一个好的近似解,是求解中小规模图的最大二等分问题的有效方法. 3、研究了可直接求解的半定规划问题.首先介绍了三类已有的可直接求解的半定规划问题,然后研究了一类新的具有特殊约束条件的半定规划问题.这些问题的求解不需要利用传统迭代的方法(正是基于这个原因,才称这些问题是可直接求解的),而是通过一系列可逆的矩阵变换就可直接给出原问题的最优解.


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