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突变介质区域高精度FDTD算法研究

丁海  
【摘要】: 标准的时域有限差分法(FDTD)在均匀媒质区域可以满足二阶精度要求。在研究非均匀媒质填充区域时,最主要的问题是如何恰当的处理包含媒质交界面的网格。本论文介绍了多种理论和方法,包括常用的基于均匀网格的等效介电常数法和面积积分法;使用不同粗细网格建模的子域算法,介质曲面子网格建模法以及最新提出的导体曲面网格扩展法;并在此基础上深入研究,提出了各种改进算法。文章由浅入深,从平面介质交界面开始研究,扩展到角形介质交界面,最后从解决实际问题的角度出发,对曲面介质交界面进行了研究。 首先针对平面介质交界面处二维情况下TE模式和TM模式进行了研究。介绍了常规FDTD方法在处理不均匀介质填充的网格时经常使用的近似方法,包括选取介电常数的算术平均值法以及等效介电常数法,通过推导得出该近似方法只有一阶精度。为了提高计算精度,提出了一种利用非均匀网格建模的新方法,新方法从积分形式的Maxwell方程出发,在介质交界面处将连续场量按照泰勒级数展开,通过合理地选取非均匀网格的尺寸,恰当地构造等效介电常数,推导出了平面媒质交界面处二阶精度FDTD算法。新算法不但保证了交界面处电磁场量二阶精度的实现,同时也可以根据不同介质区域电磁场量的分布,合理地划分粗细网格,大大地提高了算法的计算精度。对二维矩形介质谐振腔进行了模拟,通过对时域数值场量误差的计算,验证了新算法的二阶精度。这种算法还可以应用到磁性媒质交界面上,也取得了不错的效果。 接着将二阶精度FDTD算法应用到了三维情况,利用非均匀网格在介质平面介质交界面处建立了三维FDTD模型,并将模型分解为TE模式和TM模式分别研究,计算出了满足二阶精度条件的距离参数方程和等效介电常数公式,得到了三维情况下二阶精度FDTD方程。模拟了几种微带电路,计算了传输和反射特性,验证了FDTD方程的准确性。 然后介绍了一种子域算法,子域算法强调根据电磁场量分布,在不同的区域设置粗细网格,细网格的尺寸只有粗网格的1/2或者1/3,这样就节省了计算资源,提高了计算效率。将子域算法应用在角形介质交界面上时,在交界面上(粗细网格的边界)电场只有一阶精度。基于平面介质交界面处二阶精度FDTD方程,提出了一种改进的子域算法,通过在交界面处非均匀网格的设置和辅助磁场的引入,使交界面上电场达到二阶精度。对几种脊波导进行了模拟,验证算法的精度。 在实际的电磁场问题中,经常会出现曲面介质交界面问题,因此也产生了一系列的共形FDTD算法。从最简单的阶梯法,介质曲面子网格建模法,到较为复杂的面积积分法,以及最新提出的导体曲面网格扩展法,都试图在算法的精度和计算成本中寻找一个完美的契合点。但是往往不是精度不够,就是计算过程稍显复杂。本文将导体曲面网格扩展法应用到介质问题上,提出了一种简单有效的介质交界面网格扩展法,并可以应用到介质曲面。这种算法在不增加计算代价和编程复杂度的前提下,可以有效地提高计算精度。


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