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纠错码理论及应用研究

钱建发  
【摘要】: 纠错码理论不仅是信息安全的理论基础,而且是量子信息的理论基础。自从1994年Hammons、Calderbank、Sloane等人在IEEE Trans. Inform. Theory上发表了著名的获奖论文"The Z4-linearity of Kerdock, Preparata, Goethals, and related codes"以来,纠错码在有限环上的理论研究成为近年来编码理论研究的热点。1998年,Calderbank、Rains、Shor等人建立了量子纠错码理论的数学形式,并且给出了利用纠错码构造量子纠错码的系统而有效的方法,他们的研究成果极大地推动了纠错码理论在量子信息中的应用。 本文以纠错码在有限环上的理论研究为基础,以量子纠错码的构造为主要应用。具体研究内容如下: 1.纠错码在有限环上的理论研究 (1)研究了多项式剩余类环上的常循环码,在多项式剩余类环上定义了新的Gray映射,得到了多项式剩余类环上的常循环码在新定义的Gray映射下的一些好的性质。 (2)研究了多项式剩余类环上的重根循环码,通过离散傅立叶变换,建立了多项式剩余类环上的重根循环码同理想的直接和之间的关系。 (3)给出了有限环Fq+uFq上构造MacDonald码的方法,并且通过构造的MacDonald码,得到了一类秘密共享方案的访问结构。 (4)研究了幂零指数e=2,剩余类域为Fpk的有限链环R上常循环码的Gray像问题,通过定义新的Gray映射,证明了有限链环上线性常循环码在新定义的Gray映射下的像是Fpk上的准循环码,并且证明了Fpk上循环码在有限链环上的Gray像等价于准循环码。 (5)研究了幂零指数为任意正整数,剩余类域为Fp的有限链环R上的常循环码,在有限链环R上定义了新的Gray映射,得到了有限链环R上的常循环码在新定义的Gray映射下的一些好的结果。 2.纠错码在量子信息中的应用研究 (1)首次通过有限环F2+uF2上的循环码来构造量子纠错码,之前所有的量子纠错码的构造都是在有限域上通过自正交的经典线性码来构造得到的。我们通过对有限环F2+uF2上循环码的结构研究,构造得到了好的量子纠错码,并且构造了一类无限个量子纠错码。 (2)通过对有限环Zp2(模p2剩余类环,其中p为素数)上线性码的研究,得到了一种构造非二元的非加性量子纠错码的方法,并且得到一类无限个非二元的非加性量子纠错码((pm+1,p2pm-4m-4,3(p-1)))。 (3)在非对称的量子信道上,利用经典的平方剩余码和Reed-Muller码构造了一批非对称量子纠错码,并且利用广义Reed-Solomon码构造了一批达到Singleton界的最优非对称量子纠错码。 (4)利用准循环码来构造量子纠错码,给出了准循环码包含其对偶码的条件,得到了新的量子准循环码。 (5)利用准缠绕码来构造量子纠错码,通过对准缠绕码的结构分析,将量子循环码、量子常循环码、量子准循环码的构造方法统一起来。 (6)给出了量子纠错码的一种递归构造方法,即利用了自正交线性码的生成矩阵的一种递归关系,将这种关系同构造量子稳定子码相联系,解决了构造长的量子稳定子码的问题。


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