发展方程的斜坡Haar小波函数数值解

【摘要】：Haar小波由一系列分段常函数组成,是具有紧支集的最简单的正交小波,而斜坡Haar小波是对Haar小波通过变形得到的新小波,它由分段函数组成,仍具有类似Haar小波良好的性质,已应用于图像处理、信号处理、密码学等工程方面.本文利用斜坡Haar小波求解发展方程,为微分方程的求解提供了新的工具。本文首先根据斜坡Haar小波的定义,研究了斜坡Haar小波积分公式,为数值求解发展方程做了准备工作;其次研究了一维热传导方程和波动方程的斜坡Haar小波数值解,其方法是将出现在方程中的最高阶微分用斜坡Haar小波表示,其它的微分和函数通过多次积分获得,把所有这些积分代入方程系统,然后离散化,得线性代数方程组,使用Matlab进行数值模拟;最后,使用斜坡Haar小波求解了二维抛物型方程和波动方程,二维热传导方程作为抛物型方程的特例研究,使用张量积二维斜坡Haar函数把出现在方程中的最高阶偏微分展开成二维斜坡Haar小波,然后多次积分其表达式,最后类似一维的方法得线性方程组,用Matlab数值求解.在一维和二维情形中,数值的结果与精确解进行了比对,说明了本文所采用的方法的有效性和可行性。