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《长安大学》 2019年
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两种求解随机微分方程数值方法的稳定性与收敛性

王彩霞  
【摘要】:随机微分方程(SDE)作为一门确定性现象和不确定现象相结合的学科,能更精确地刻画自然界中诸多对象的运动规律,现已普遍应用在金融经济、物理学、系统生物学、工程技术等各个领域中。但是,与常微分方程相比,随机微分方程的解析解更难得到,所以大多数情况下需要用数值方法来近似求解。因此,寻找有效的数值方法显得尤其重要。本文主要提出了两种求解随机微分方程的数值方法,并讨论了这两种数值方法的稳定性以及收敛性。1、概括了随机微分方程数值解收敛性和稳定性的一些概念,介绍了几种比较常见的经典数值方法,然后通过数值算例验证了Heun方法的强收敛阶,最后给出了Heun方法和θ-Heun方法的均方(MS)稳定函数,并画出各自的均方稳定域图。2、提出了两种新的数值方法,一种是对梯形Euler方法进行改进得到的混合Euler方法;另一种是对Heun方法进行改进得到的复合Heun方法。3、对改进的混合Euler方法的稳定性与收敛性进行讨论。首先利用均方稳定的定义,给出了混合Euler方法的均方稳定性,并求出了相应的均方稳定域;其次利用数值解收敛性的定义,分别给出了混合Euler方法的几种不同的收敛阶;最后通过数值算例验证了混合Euler方法的均方稳定性,并将混合Euler方法和梯形Euler方法得到的数值解分别与精确解做了对比。4、对改进的复合Heun方法的稳定性与收敛性进行讨论。首先给出了复合Heun方法的均方稳定性以及指数稳定性;其次证明了它们之间的相互等价性;再次研究了复合Heun方法的几种不同的收敛阶;最后利用数值算例验证了复合Heun方法的均方稳定性,并将复合Heun方法和Heun方法得到的数值解分别与精确解做了对比。
【学位授予单位】:长安大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2019
【分类号】:O241.8

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【参考文献】
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