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分数阶非线性系统同步与非线性电路理论若干问题研究

吴艳萍  
【摘要】:非线性是生物系统的本质现象,生物系统中到处充满了不能由单一线性关系系统替换复杂非线性系统的现象。而混沌作为非线性动力学的重要分支,揭示了生物系统中普遍存在的复杂性、确定性与随机性的统一,研究混沌理论更有助于我们认识和揭示生物系统的运动机制。近年来,大量科学研究表明基于分数阶微积分而建立的数学模型更能反映其电特性。因此,实现分数阶混沌系统可控性是关系到生物系统稳定、安全、可靠的重要问题,并以期让生命的发展过程更符合人民的意愿。所以,本文从非线性动力学理论角度入手,探讨了分数阶混沌系统与整数阶混沌系统间的同步,分析分数阶非线性电路本质及其应用,并初步研究了分数阶非线性电路网络的可控性。论文的主要内容和结论如下:(1)混沌现象普存于生命系统。在混沌同步方面,首先,我们设计了一种活跃的滑模设计器,通过选择合适的控制参数,使驱动系统和反应系统同步,实现了分数阶陈混沌系统与整数阶陈混沌系统之间以及整数阶超混沌陈系统和分数阶超混沌系统之间的同步,充分说明该方法的有效性,且数值模拟与理论分析相一致。其次,为了把分数阶和整数阶非线性动力系统联系起来,我们利用李雅普诺夫稳定性理论,结合反推法,实现了只有一项控制的一类分数阶混沌系统和整数阶混沌系统之间的同步与反同步,并通过数值模拟验证理论分析的正确性。最后,我们给出了一类混沌系统的一般形式,成功实现了一个分数阶混沌系统与整数阶混沌系统之间的同步,为生物医学的混沌同步与控制研究提供了新的理论依据。(2)生物系统的构建离不开电路理论。从分数阶非线性电路理论方面,首先,我们研究了分数阶RLC串联电路与Foster II型分数阶LC电路的电路特性,系统地研究了系统参数尤其是分数阶阶次,对电路两个特性:阻抗比特性与相位特性的影响。此外,我们还研究了系统参数对纯虚阻抗这一特殊电路特性的影响。进一步,我们给出谐振频率随分数阶阶次变化的三维图。同时,我们还对阻抗与相位的灵敏度做了详细的研究。最后,基于本文的研究,为推动工业发展,我们给出了典型的应用实例。可知,分数阶非线性电路设计有更多的柔性与选择性,有助于我们从本质上理解生物体内复杂事件的内在机制。(3)生物系统的研究依赖于非线性电路的技术支持。从分数阶滤波电路方面,作为分数阶非线性电路理论的典型应用,本文尝试着将RLC滤波电路推广到分数阶域,系统地研究和分析了其在分数阶下的基本特征和规律。首先,我们探讨了分数阶RLC滤波电路在整数阶和分数阶下的两个基本特性—阻抗和相位;进而,分析了分数阶滤波电路的幅频特性和相频特性,并且探讨了各系统变量参数对滤波电路滤波特性的影响。研究发现,分数阶滤波电路具有更好的滤波特性,且其滤波电路设计有更多柔性,为生物系统的研究提供了新的技术保障。(4)复杂网络本质上描述了生物系统的复杂特性。从分数阶非线性复杂网络可控性方面,我们给出分数阶线性系统可控性的严格数学描述与证明;进一步,研究了分数阶RLC串联电路网络与分数阶RLC并联电路网络的可控性条件,数值模拟与理论分析相照应。其次,我们给出级联型分数阶RLC电路网络可控的充要条件并进行证明,数值模拟结果与理论分析一致。成功实现复杂网络的可控性,为实现生物系统的可控性提供了新的技术支撑。


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