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《陕西师范大学》 2011年
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拓扑定理的合情推证

黄永艳  
【摘要】:合情推理是数学学习、教学、研究的重要手段.这一方面的主要涉及初等数学的研究工作比较多但涉及高等数学的研究工作很少.本文主要给出合情推理应用在高等数学的学习、教学或研究中的一个例子,即展示如何从大学数学课本中有关拓扑空间的连通性与局部连通性的一些结论出发,通过“合情”的类比和猜想,初步建立预拓扑空间(它是拓扑空间的一般化)的连通性与局部连通性理论. 论文的要点及主要内容如下: 第1章合情推理在微积分学习、教学中的应用举例.首先介绍了合情推理中的归纳和类比方法,然后选取了微积分中几个众所周知的定理(例如,自然数平方的倒数求和,拉格朗日中值定理证明过程中辅助函数构造),根据资料和我本人的理解再现了这些定理有趣的发现过程,同时阐述了在微积分学习、教学中“有意识地再现这些定理的发现过程”的重要性. 第2章合情推理在点集拓扑学学习、教学中的应用举例.主要介绍了本人在大学和研究生阶段学习点集拓扑学课时如何“有意识地使用合情推理”获得了一些可发表的结果.首先介绍了预拓扑空间中的基本概念(包括连续映射、乘积空间、连通空间、强连通空间、局部强连通空问等).在此基础上,选取了与强连通和局部强连通有关的几个典型性质(例如,强连通的等价刻画,连续映射下保持不变的性质,强连通子集的一些性质,局部强连通的开遗传性、可和性、可积性、可商性),以合情推理的形式详细阐述其发现、证明过程,“有意识地将合情推理应用于拓扑学的学习、教学中”. 第3章合情推理的冒险之处.首先介绍合情推理有一定的冒险性(例如,由有限项求和类比无穷级数求和后者不能随意改变项的顺序),必须严格按定义论证.其次根据本人在大学和研究生阶段的体会,提出“要有‘性’可依,才能合情推理”.
【学位授予单位】:陕西师范大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2011
【分类号】:O189

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