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一类生态数学模型解的渐近性质

张利军  
【摘要】:生活在资源有限的环境中的人类和动物,能否长期繁衍生息。动物种群 的竞争排斥和弱肉强食,后果如何,生态何以平衡,渔业的捕获量对食肉鱼类 的存亡有何影响等等有趣的生物问题受到了数学界学者极大的关注,他们通过 建立生物数学模型来描述和研究这一复杂的生物现象。在生态环境中,由于种 群之间的相互竞争,不可避免地产生“适者生存,不适者淘汰”的生态现象,即 所谓的灭绝和持续生存性问题。设想有一海岛,居住着狐狸和野兔,狐吃兔, 兔吃草。青草如此之丰富,兔子无无食之忧,于是大量繁殖;兔子一多,狐易 得食,狐量易增,而由于狐狸数目增多吃掉兔子,狐群又进入饥饿状态,使其 总数下降,这时兔子相对安全,于是兔子总数回升,就这样狐兔数量交替地增 减,无休止循环,逐渐形成生态的动态平衡;伟大的科学家达尔文在他的名著 《物种起源》一书中明确指出:“最剧烈的斗争差不多总是发生在同种群的个 体之间,因为它们居住在同一地域,需要同样食物和配偶,遭受同样的威胁。 ”所有这些现象表明研究种群的持续生存,特别是如何能使面临灭绝的种群持 续生存有着极其重要的生物和现实意义。而正平衡点和周期解的稳定性问题正 是数学思想对生物种群持久性问题的准确而又科学的反映,种群的持续生存实 际上是生态系统的一种稳定性。本文就生态系统解的渐近性质讨论了以下三个 模型: 模型1是功能性反应为X~(1/2)的捕食-食饵模型 x=x-α(t)x~(3/2)-x~(1/2)y y=-s(t)y+β(t)x~(1/2)y-ε(t)y~2 这里,x和y分别表示食饵和捕食种群的密度,a(t);/j(t),。(l),…)是在[0,+co) 上连续且具有正的上、下界的周期为。>0的周期函数. 模型2是具有反馈控制侧周期SCllOlllf竞争模型: I 上11Z122 c11【11——一all【附11丛且 一[)ilL且Jgi!l-Clllj 卞 0Itl1百Lll凸11 月*叫二且=c引工且D一一一下厂7了一回一囱二一一7印丁 一…巴I1c】巴【且一 地厂10川丛1 一q!丛)一叮巴丛in2卜ID 其系数均为正的有界函数。 模型3是具有阶段结构的两种群竞争模型: 舅_丫谷兑_。。。r4兑_。。/羊、_。一了7。 .手_免 回 o_/吾、。/多、 I_’11\__。一Y,_IJ___\L_IO\。U\ f4。,2(0\ *小)二 T小)三 0,c;百乙( 二 yi小)三 0,一丁< t三(*,川0)> 0. 这叫一和。。。*分别表示。种群的幼年和成年的种群密)变,y()表示9种群 的种群密度,且0=of-02是负的。成年种群。捕食幼年帅群人且成年种群 。和种群。是相互竞争的。 在二维竞争的Lotka-Voltera系统得到广泛研究的情况丁,埔食一食饵系统 因其模型系数符号的变化致使研究变得相对较为复杂。实验表明在一些动物种 群间(特别是低等级动物厂 捕食者的捕食能力,即功能性反应函数具有店 的形式。文献闷对模型1当系数为常数的情况作了定性研究。然而实际上恒 定的环境是不存在的,通常环境因素是变化的。为了更精确地描绘生态系统, 必须研究时变环境下具有功能性反应函数为万的捕食一食饵系统,特别是 周期系数的模型。但由于此模型为非自治生态模型,研究自治模型的方法在此 显得无能为力,这就给研究带来一定困难。本文的第一部分是通过构造最终有 界域和LyaPtmov函数的方法,获得了模型1种群持续生存的一组充分条件, 以及系统为周期系统时,周期解全局渐近稳定的充分条件。 在系统和控制理论的领域内,生物动力系统的控制理论是其中的一个重要 分支。在许多研究种群持续生存的文献中,就如何挽救面临灭绝的种群,使其 持续生存,一般有两种途径可以实现,一是通过种群间的自然调节,即所谓的 2 扩散现象。另一种是通过人为手段,即我们可以寻找一定的控制方案(放养和 收获)使系统持续生存。文问研究了具有反馈控制的*。卜。-*Itn;。竞争系统 的待续生存性,达到了通过合理的控制来挽救灭绝的种群的日的。但目前,对 Sol。*ler在19 7 4年提出的实用性很强的两种群竞分系统的研究甚少。本文 的模型二就是研究具有反馈控制的SCllOlllY模型的渐近性质。在文N1的条件 下h1种群灭绝入利用比较定理、B*wer不动点定理等人法,获得了该模型 种群持续生存的一组充分条件,以及系统为周期系统则·,周期解全局渐近稳定 的充分条件。即通过合理控制也能挽救种群的灭绝,使系统待续生存。从而, 为即将濒临灭绝的极其珍贵的动物的保护在理论上提供了--闪l可行性方案。 具有阶段结构模型的研究是一个既困难而又有现实意义的工作,而具有自 食现象的阶段结构模型的研究更是一个新颖的课题。在生怂环境中,许多种群 ”存在有自食现象,“大鱼吃小鱼”是一种典型的同种群的成年个体孤食幼年个 体的生物自食现象。阶段结构就是将种群分为幼年?


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