连续Domain的基数函数与若干Domain范畴的笛卡尔闭性

【摘要】： Domain理论为计算机程序设计语言的指称语义学奠定了数学基础．其中序与拓扑相互结合、相互作用是这一理论的基本特征。正是这一特征使Domain理论成为理论计算机科学与格上拓扑学研究者共同感兴趣的领域，并使Domain理论与许多数学学科产生了密切的联系。而基数函数是集论拓扑学的主要内容之一，这就导致D．S．Scott等六位专家在丈[1]中提出了连续格的权的概念并且讨论了由此涉入的一些关系定理。文[2]中给出了更一般的研究对象——连续Domain的权的定义并讨论了一些基本的性质。本文将给出连续Domain的特征、浓度等概念，并进一步探讨连续Domain的基数函数与相应的Scott拓扑空间及相应的Lawson拓扑空间的基数函数之间的关系，最终得到了若干基数等式与不等式，通过引入对象等价的概念，指出了权与特征均是同构不变量，特征是等价不变量。本文还得到了连续Domain的开、闭遗传性，给出了代数完备半格范畴和局部代数格范畴的等价范畴。 满足一定条件的Dcpo与其上的某些Scott连续映射组成的范畴称为某种Domain范畴。一种Domain范畴要成为某种语言的语义学模型其基本条件是笛卡尔闭的，因而研究Domain范畴的笛卡尔闭性或者说寻找笛卡尔闭的Domain范畴就自然成了Domain理论中一个十分基本的问题。连续Domain在整个Domain理论中占有十分重要的地位．对于以Scott连续映射为态射的DCPO的满子范畴的笛卡尔闭性已经有过许多讨论，一些基本结果已经得出。本丈证明了完备半格范畴、局部完备半格范畴、交连续完备半格范畴是笛卡尔闭的。在某种意义上完善了对DCPO的满子范畴的笛卡尔闭性的讨论。以Scott连续映射为态射有一定的优点，比如对于无型λ演算的模型的获取是很有用的。但从实际应用来看又有一定的局限性，比如它不能表现ALGOL序列语言的所有算子性质等。G．Berry为了在语义模型中刻划计算的时序性，引入了稳定映射和稳定Domain，稳定序等概念，并由此发展了稳定Domain理论。这方面已经取得了比较显著的结果。本丈在此基础上讨论了以稳定映射为态射的局部完备格范畴的满子范畴的笛卡尔闭性。证明了几类分配的Domain范畴即SDSCS、SDCCS、SDACS是SLP的闭的满子范畴，指出在SLP的满子范畴中指数对象同构于稳定映射所成的函数空间。 本文的主要结构与内容： 第一章为准备知识。我们将给出完成全文所需的Domain理论和范畴论两方面的基本知识。Domain方面将给出一些基本的定义如定向集、定向完备集、连 续 Domain、连续 Domain的基、完备半格、局部完备格等，以及连续 Domain 上的重要拓扑——Scott拓扑和Lawson拓扑．范畴论方面将给出一些主要概念如 满子范畴、函子、自然同构、范畴等价、伴随函子、极限、乘积、笛卡尔闭性 二 等及几个重要定理． 第二章研究连续Domain的三个基数函数和其它一些问题，共分四小节．第一 ‘、节介绍了连续＊。＊。m的权并讨论它与其带上h。口拓扑或h＊s。n拓扑的拓扑 空间的权的关系，最后得到了三种权相等的结论．第＝节定义了连续Domain的特 征并讨论了三种特征之间的关系，得到了连续Domain的特征与ZP的特征相等． 它们都不超过AP的特征．通过对连续Domain上特殊映射的讨论，定义了等价的 概念并指出权与特征都是同构不变量，特征是等价不变量．第三节引入了连续 Domain的浓度的概念，同样讨论了它与相应的拓扑空间的浓度之间的关系，得到 了类似于特征的结果．第四节讨论了连续Domain的开、闭遗传性；类似于交连 续格，给出了交连续完备半格的一个刻划定理；通过构造两种新的半格，给出局部 代数格范畴和Scott Domain范畴的等价范畴．最后证明了完备半格范畴、局部完 备格范畴、交连续完备半格范畴的笛卡尔闭性． 第三章讨论以稳定映射为态射的局部完备格范畴的满子范畴的笛卡尔闭性． 给出了范畴 SLP的满子范畴笛卡尔闭的必要条件，即证明了 SLP的满子范畴中的 指数对象就是稳定映射构成的函数空间．得到了以稳定映射为态射的完备半格范 畴、连续完备半格范畴、代数完备半格范畴都不是笛卡尔闭的，而以分配的交连 续完备半格、分配的 cos、分配的 Scott Domain等为对象的SLP的满子范畴是笛 卡尔闭的．从而推广了G．Berry和PTaylor关于以稳定映射为态射的相应Domain 范畴的笛卡尔闭性的部分结果． 第四章主要给出了 Sober化的一个重要性质．通过对完备格的谱理论的简单 讨，为一般的拓扑空间及偏序集的Sober ｛匕做了理论上的铺垫Z指出了拓扑空间的 Sober化函子是从SOB到TOP的包含函子的左拌随，理想完备化函子是从ALG 到POS的遗忘函子的左拌随．