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两类自催化反应的分歧与斑图

张丽   
【摘要】: 从20世纪70年代开始,人们注意到在远离热力学平衡态的情况下,系统均匀定态的动力学失稳与平衡相变之间的许多相似之处。例如,两者在临界点附近都存在着巨涨落,即系统关联长度发散的情况;两者的动力学行为在临界点均有临界慢化现象;相变时系统都发生斑图自组织过程,并伴随着一定的时空对称性破缺,即相变前系统的时空对称性比相变后为高;系统的序参量在临界点附近有类似的临界指数规律;等等。这些现象启发人们利用数学中的分岔理论,对远离热力学平衡系统中的临界行为作明确的动力学分类。 一般来讲,化学反应中的动力学问题绝大多数是非线性问题。但是,在系统临近热力学平衡态时,系统的动力学行为可以近似地用线性非平衡热力学来研究,在系统远离热力学平衡态时,在一些情况下,非线性效应变成系统动力学行为的主导因素。这种非线性行为与系统的线性扩散行为耦合,可以使系统自发地产生各种有序或无序的斑图态。从70年代开始,随着耗散结构理论被普遍接受,人们开始系统的研究化学振荡现象。研究这类化学反应扩散系统,重要的是抓住系统在临界点附近动力学行为的共性。这些是斑图动力学(非线性科学邻域内的一个重要分支)研究的主要内容。 本文分三部分研究了两类自催化化学反应扩散系统平衡态的稳定性和斑图态分歧解的性质。 第二部分研究了一类发生在二维密闭容器内的三次自催化反应,模型1是,其中Ω=[0,1]×[0,1],a,b代表反应物A和自催化剂B的无量纲浓度,μ是先引物P的初始浓度,入_a,λ_b分别是反应物A,B的扩散系数。边界条件是,用线性化理论分析了一致平衡态(a,b)=(1/μ,μ)的稳定性,给出了这类二维自催化反应扩散系统出现图灵失稳的一个必要条件是参数D<3-2(2~(1/2))(D=λ_b/λ_a)。我们通过利用正确的弱非线性稳定性理论分析模型的齐次解以及系统的振幅函数来研究系统的二维图灵斑图包括长方形排列的菱形斑图和六边形斑图出现的可能性。主要计算出了振幅方程的Landau常数并且还讨论了振幅方程几类平衡点的稳定性。 在本文的第三部分,我们考虑了一类由于自催化剂B的交替扩散而使两个同 卵细胞产生耦合的耦合高次自催化反应;模型2为, D 尖#二 入[:.==z-+u一;J’Y《’ I at”’axZ M’“叫”l 】卞于 一 人O5i7T十u厂川一厂I十厂卜\UI卜。、_ 气 y。y一““-~U<:L<上.f>U. 10h9 IO“fig_ftlllu、、。、。·,/u· D 0Z””dx上 卜州 一上”2’ D 兴芋=AO宁芋+uyUO一丁,+dh1一*,)。 \ot””’0,2”“2“2“:M\“1”Zj” 其中1三。<2,。。,2是自然数.(。1,。1)和(。2,。2)是同卵双生细胞1和细目2的 无量纲浓度,卢是无量纲耦合参数。我们假设边界条件是第二类边界条件,即 011;OU; AIAil=AIAnt=0、X=0、l.(=1.2). ox ox 在本文中我们找到系统的一个唯一的齐次平衡态,用线性化理论讨论了平衡态的 一致稳定性条件,进一步分析了当0<q<二厂时非耦合系统产生空间非一致分 歧解(图灵失稳)的必要条件是0<4<H 用弱非线性理论讨论了图灵分歧 解的性质,给出了振幅方程井且讨论了振幅平衡态.最后还分析了对于0<S《1 条件下的弱耦合系统,讨论了振幅平衡态和振幅的 Landau常数,以及在OWI条 件下的强耦合系统的振幅方程.


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