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矩阵广义Schur补的不等式

尹小艳  
【摘要】:随着科技的发展,矩阵理论以其极广泛的实用性,已成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具。随着研究和应用的逐步深入,人们也在不断地提出新的思路。矩阵Schur补,Perron补的概念应运而生,成为研究矩阵不可或缺的重要工具。而矩阵不等式一直是矩阵理论中的热门课题。近些年来研究矩阵Schur补,Perron补的不等式便吸引了诸多学者的目光。在已有文献的基础上,本文引入并研究了矩阵广义Schur补,广义Perron补,得到了一系列与其有关的重要不等式。本文分三章讨论: 第一章讨论并研究了矩阵及其广义Schur补的Lwner偏序问题,给出了半正定矩阵广义Schur补的一种极小刻画,证明了:若A∈H(>/n)则在Lwner偏序关系下,(1)令α={1,2,…,r},对任意Z∈C~((n-r)×r),有A/α≤(Z,I_(n-r))A(Z,I_(n-r))~*;(2)设A,B∈H(>/n),α(?)N={1,2,…,n},则 A/α≥0,(A+B)/α≥A/α+B/α且若A≥B,有A/α-B/α≥(A-B)/α≥0;(3)A/α≤A(α′)等号成立当且仅当存在n阶置换阵P使得PAP~*=A(α)⊕A(α′);(4)若A∈C~(m×n),B∈H(>/n),l=min{m,n},α(?){1,2,…,l),则有(ABA~*)(β′)≥A(β′,α′)B/αA~*(α′,β′);(5)一般情况下即使A,B>0,(BAB)/α与B/αA/αB/α不可比较,但若A∈H(>/m),B为m×n复矩阵,满足,则;第二部分引入了Kronecker积的概念,证明了:若,则其中,;第三部分引入了Hardamard积的概念,证明了:(1)若A,B正定,r为任意正整数,则有且等不等式;(2)设,则且。 第二章对形如BAB~*的矩阵乘积(其中A半正定),介绍了几个关于其Schur补的特征值不等式,并在已有结果的基础上,利用定理1.1.1,得到了其广义Schur补特征值的诸多不等式.证明了:(1)设为正整数,满足。若,则;(2)若A为半正定矩阵,B∈C~(n×n),则推广了已有文献的结果。 第三章引入了任一复矩阵广义Perron补的概念,第一部分定理3.1.3证明了:若H为n阶半定阵,A为H的r阶主子阵,A_(11)为A的r_1阶主子阵,则A/A_(11)是H/A_(11)的主子阵,且得到了半定矩阵广义Schur补的一个重要性质—商性质,并证明了对一般Hermitian矩阵,其广义Schur补不一定保持这一性质,较完整地解 决了矩阵schur补的商性质能否推广到广义schur补的问题.第二部分得到了半定矩 阵广义schur补,广义Perron补及其逆,Moore一Pe盯ose广义逆的特征值交错不等式, 将著名的cauchy特征值交错定理做了一定扩充和推广,并举例说明对一般Hermitian 矩阵,广义schur补的这一特征值不等式不一定成立.证明了:若Q cN二{l,2,…,叮, a‘=N一a,}a卜r,则(一)若八。万。为半定矩阵,对l三‘二。一r,有(i)入,(A)之入‘(八(a‘))2 入、(通/a)全,、+,(八)若A半正定,(11)入‘(注)全,*(八/a)全,、(注(a,))全*:+r(八)若A半负定; (z)若A〔瓜为半定阵,则有入‘(A十)全入‘((洲a)+)全从+r(A十)、二1,2,…,n一:;(s)若 A为n阶半正定矩阵,Ial二:,则对t七风助,有入‘(川七从限(A/a))全从(A(a’))全 斌习a)七凡十,(A)‘=1,2,…,n一:.且对非负对称矩阵,证明了:(’)若A为任一。 阶对称非负矩阵,价并Ql c a cN={l,2,…,n},则Pt(A(a)/。1)是只(刃al)的主子矩 阵,且有只限(A/a、)/只(A(a)/al)]=只(A/a)vt。!p(注),co),得到了其Perron补的一个 类似的商性质及一些特征值交错不等式.


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