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三类生态模型解的渐近性研究

余胜平  
【摘要】:本文通过构造Lyapunov函数和泛函及递归序列,利用微分不等式等方法,运用Lyapunov定理、代数理论、比较原理、Barbalat's引理、连续性定理等理论研究了三类生态模型解的渐近性,其中包括模型正平衡态的全局吸引性和全局渐近稳定性以及模型的一致持久生存性、正周期解的存在性和正概周期解的存在惟一性及稳定性等解的性态。 在具体的生态问题中,为了实际需要,须人为地改变种群规模的平衡态,一种有效的办法是在模型中引入反馈控制变量。本文第一部分研究了一类具有反馈控制的三种群捕食-竞争模型,通过利用Lyapunov函数方法得到了模型正平衡点全局渐近稳定的充分条件;当考虑时滞因素时,通过构造递归序列和Lyapunov泛函的方法得到了模型正平衡点全局吸引和全局渐近稳定的充分条件,得到的定理结论说明在一定的条件下时滞对模型的全局吸引性无影响。 现实世界中,群体的出生、生长与死亡或种群间的竞争、捕食与合作等一系列过程都非常复杂,通常并不能用简单的线性关系来反映,而是通过比较复杂的功能反应函数来描述,而且被捕食种群或弱势群体总是会借助于避难所的保护而生存。本文第二部分研究了一类具有避难所的比率型非自治三种群捕食者-食饵模型,首先利用微分不等式和Lyapunov函数方法及Barbalat引理得到了模型一致持久生存和全局渐近稳定的充分条件。然后利用Brouwer不动点原理得到了该模型周期系统正周期解存在惟一且全局渐近稳定的充分条件。最后对更具普遍意义的概周期现象,通过构造辅助系统和Lyapunov函数得到了系统正概周期解存在惟一且全局渐近稳定的充分条件。在该模型中,由于避难所的存在,食饵的生存空间被扩大了。 在通常的竞争系统中,往往假设竞争者无论年龄大小,形体大小都具有相同的竞争力,然而在自然界中几乎所有动物的生长都要经历幼年和成年两个阶段,而且种群在不同的年龄阶段其生理机能(出生率、死亡率、竞争率等)的差别比较显著。如幼年种群没有生育能力、死亡率较高、竞争力较弱,而成年种群不仅有生育能力,而且生存能力较强,常常有能力与别的种群竞争生存区域内的有限资源。再者生态系统常会受到季节变迁、食物来源及动物配偶习惯等诸多因素的影响。为了反映这种生理现象和变化规律,本文第三部分研究了一类具有阶段结构和时滞的非自治生态模型,利用Ascoli-Arzela定理和拓扑度理论及重合度理论中的连续性定理得到了该模型存在正周期解的充分条件。


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