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两类变分不等式问题的神经网络

董宁  
【摘要】:变分不等式问题是一类重要的优化问题,它广泛地出现在信号和图像处理、系统识别、滤波设计、自动控制、经济科学、运输科学、运筹学,非线性分析等领域。特别地,数学、物理和工程领域的许多问题都可以转化为它,在许多科学和工程技术领域中,往往要求实时并行求解变分不等式问题,然而传统数值方法由于计算时间依赖问题的规模和结构以及所采用的算法,因而并不能实时求解,而基于电路实现的神经网络是一种自组织、自适应、自学习的非线性网络,它具有大规模并行处理、分布式存贮、高度的容错能力以及计算时间几乎为零等优点,被认为是实时并行求解优化问题的一种有效途径。近年来,应用神经网络求解优化问题已取得了很好的成果,因此,研究用神经网络实时求解变分不等式具有重要的理论价值和实际意义。 本文基于优化理论、射影理论、微分方程组的稳定性理论和LaSalle不变原理对求解广义变分不等式的神经网络进行了深入研究。从理论上严格证明了这些网络的各种稳定性,特别是指数稳定性,数值实验还表明这些网络不仅可行,而且非常有效。 全文分四部分研究了求解两类变分不等式的神经网络及其稳定性。 第一部分是绪论,综述了变分不等式的意义及其发展,并给出了射影理论、微分方程组的稳定性理论和LaSalle不变原理等基本理论。 第二部分进一步分析了广义射影神经网络的稳定性,网络模型为 du/dt=P_Ω[G(u)-αF(u)]-G(u). 该网络的平衡点是相应的广义变分不等式问题的解,因此,可以用它来求解广义变分不等式问题,本章分三种情形用射影理论、稳定性理论和LaSalle不变原理严格证明了该网络的稳定性、渐近稳定性和指数稳定性。与已有结果相比,前两种情形的结论不需要▽F(u)+▽G(u)对称,并且文中所有结论均不需要‖▽F(u)+▽G(u)‖有界。 在第三部分,根据广义变分不等式问题的结构特点及其解的充要条件,构造了一个求解它的新的神经网络模型: du/dt=[▽F(u)+▽G(u)]~(-1){P_Ω[G(u)-F(u)]-G(u)},其中▽F(u)表示映射F(u)的Jacobia矩阵,(▽F(u)+▽G(u))~(-1)表示矩阵▽F(u)+


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