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拟阵算子、拟阵映射及拟阵范畴的性质

郭建胜  
【摘要】:与其他数学分支相比,拟阵理论的历史并不悠久,它是在1935年Whitney分析了向量的线性相关性的抽象性质后建立的。之后有了进一步的发展,迄今为止,研究拟阵的基本思想主要源于图论和格论。本文将拓扑学的思想渗透于拟阵理论的研究之中,引入了拟阵间的连续映射、开映射、闭映射、同胚映射,子拟阵,商拟阵等概念以及各种拟阵算子,较为系统地讨论了它们的性质并得到了拟阵范畴中态射的一些刻画。 下面介绍本文的结构和主要内容。 第一章 对文章中要用到的有关拟阵、拓扑、范畴的基础知识和基本结论作了一个简要的叙述。 第二章 在拟阵中定义了闭包算子、内部算子、外部算子、补算子、边界算子。证明了在有限集上可以用闭包算子、内部算子、外部算子或边界算子确定唯一的拟阵。另外还证明了拟阵中的Kuratowski十四集定理,最后研究了这五类算子在复合时所形成的新的算子的性质。 第三章 主要研究了拟阵映射及拟阵范畴的性质。首先,在拟阵中定义了连续映射、开映射、闭映射、同构映射、同胚映射等概念并且得到了一系列等价刻画;证明了在拟阵中已有的同构概念和本文中定义的同胚概念是等价的;研究了拟阵中的开集、闭集、独立集、相关集、极小圈等在连续映射下是否保持的问题。 其次,定义了拟阵的子拟阵和商拟阵,研究了拟阵和它的子拟阵中的开集、闭集、独立集、相关集、极小圈、邻域、闭包以及基等概念之间的关系。 最后,较为系统的讨论了拟阵范畴的性质,给出了单态射、满态射、极端单态射、极端满态射、等特殊态射的具体刻划。此外,还给出了拟阵范畴中的等子和余等子的具体构造。


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