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几类反应扩散系统的共存态

贾云锋  
【摘要】: 反应扩散系统理论体系源于人们用反应扩散方程(组)研究种群动力系统中相互作用的物种间的相互关系.随着这一领域研究的不断深入,反应扩散方程不仅被广泛用于研究具有扩散现象的种群动力系统中,而且在物理学、化学、医学、动植物保护和生态环境的综合治理与开发等研究领域也体现出一定的积极作用. 本文基于反应扩散系统理论的研究及应用现状,在前人研究成果的基础上,分别针对含两物质的自催化反应模型、带有非单调反应函数项的两种群食饵-捕食模型以及含三种群的周期互惠模型和周期竞争模型,运用非线性分析方法和非线性偏微分方程工具,主要是二阶椭圆型和抛物型偏微分方程的理论,着重研究了这些模型的动力学行为(包括模型平衡态解的存在性、不存在性、稳定性以及解的渐近行为等),得到了一些有益的结果. 下面是本文的结构及主要内容. 第一章介绍本文将要用到的反应扩散系统研究领域的一些基本理论及经典结果,内容主要包括二阶椭圆型和抛物型偏微分方程的极值原理、上下解方法、特征值问题、不动点指数理论、分歧理论以及稳定性理论等,这些理论及结果是以后各章内容能够得以进行讨论和研究的基础. 第二章研究了一类带有齐次Neumann边界条件的两物质自催化反应模型.首先运用积分的方法以及几个著名的不等式讨论了系统正解的基本性质,利用正解的有界性,说明了当扩散率比较大时系统不会有正解;其次,讨论了系统常数正解的稳定性;同时,分别以系统中的常数和扩散率作为分歧参数,分析了系统发自常数平衡解处的分歧解,给出了系统存在分歧解的条件,并讨论了分歧解的稳定性;接着,运用不动点指数理论以及泛函分析的相关知识,讨论了系统非常数正解的存在性;最后,对系统的共存态作了全局分析,指出在空间为一维的情形,系统发自常数平衡解处的分歧解一定是延伸到无穷远的. 第三章分析了一类带有非单调反应函数和齐次Dirichlet边界条件的两种群食饵-捕食模型.首先讨论了模型平凡解与半平凡解的稳定性;接着以其中一个种群的出生率作为分歧参数(另一种群的出生率固定)考察了模型发自半平凡解处的分歧解的存在性、唯一性及稳定性;其次,同时以两种群的出生率为分歧参数,利用Liapunov-Schmidt方法讨论了模型发自平凡解处的分歧解(即模型发自二重特征值处的分歧解)的存在性、唯一性及稳定性;最后,运用Banach空间上的拓扑度理论及锥映射不动点指数方法分析了模型共存态的存在性. 第四章讨论了一类具有时间周期性的、带有齐次Dirichlet边界条件的三种群互惠模型.运用上下解方法得到了模型存在正解的一些充分性条件和关于正解的一些先验估计;就模型的一个具体情形,结合代数方法和泛函分析方法给出了模型存在正解的充分必要条件.与多数已有的具有时间周期性的生态模型所不同的是,本章所给出的具有时间周期性的三种群互惠模型是变系数的.讨论过程也表明,对于三种群的周期互惠模型正解的存在性的讨论要比两种群的互惠模型正解的存在性的讨论复杂得多. 第五章考察了一类具有时间周期性的、带有齐次Neumann边界条件的三种群竞争模型共存态的渐近性.主要目的是探讨系统共存态的一种渐近行为,即一个物种灭绝,而另两个物种生存.首先,针对系统的正解,运用模型中的系数函数给出了正解的一些估计,同时,还得到了模型不存在严格正解的一些充分性条件.其次,利用给出的模型不存在严格正解的充分性条件,讨论了系统共存态的渐近行为,具体地说,就是当时间充分大时,一个物种灭绝,而另两个物种共存.与第四章一样,本章所给出的具有时间周期性的三种群竞争模型也是变系数的.讨论发现,对于三种群周期竞争模型共存态的渐近性的讨论要比两种群的周期竞争模型共存态的渐近性的讨论复杂得多.


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