关于自适应小波相关问题的一些研究

【摘要】： 小波分析是近二十年来很受关注的一个领域,它是调和分析及信号分析等领域的重要工具之一。从数学的角度看,小波实际上是在特定空间内按照称之为小波的基函数(通常具有鲜明的物理意义)对数学表达式的展开与逼近。作为一种快速高效、高精度的近似方法,小波分析构成调和分析领域中Fourier分析的重要发展。与Fourier变换由三角基函数构成相比,小波基函数大多为具有快速衰减、充分光滑、能量主要集中在一个局部区域的函数。由于小波分析的“自适应性质”和“数学显微镜性质”,使其被广泛应用于基础科学、应用科学尤其是信息科学、信号分析的方方面面。它不仅成为数学家们研究的一个热点,同时也引起了物理学家、生物学家、工程师等其它领域科学工作者的广泛关注。小波分析的理论研究与实际应用的范围正在迅速深入和扩大。 对正交小波而言,我们希望它是有限支撑的,以使Mallat算法更加快捷;希望它是光滑的,以便高精度地模拟和分析信号;希望它的时域和频域的局部化十分强劲的,以便在信号处理中发挥突出作用。Daubechies小波为此做出了杰出的贡献。 我们更希望在用小波进行信号处理时,对一般信号或一类信号,能够自适应地找到一组较好的小波基,以便更好地逼近信号。一种可选的方案就是寻找匹配于特定信号的自适应小波基。近些年,人们对寻找自适应小波的有效算法已经取得了一定成果。在这一领域,早期Gopinath,Tewfik等人提出了几种匹配于特定信号的正交小波基算法。 本文主要讨论寻找最优正交小波基的问题,主要通过结合正交小波的定义和对逼近误差的限制设计了一种最优化算法。本文中引用的结论大都是此方面的经典结论或是最新的结论,他们代表了此领域的研究水平和发展方向。在这些研究的基础上,我研究并改进了寻找最优正交小波基的方法,同时我们做了仿真并对仿真结果作了详细的分析。 本文共分四部分: 第一章是引言,主要介绍了小波分析的产生、发展和小波变换技术在图像编码应用中的研究现状。 第二章我们首先介绍了连续小波及多分辨分析的基本性质。多分辨分析是S.Mallat于1988年提出的,又称为多尺度分析,是小波分析中的重要概念之一。它从函数空间的角度来研究函数或信号的多尺度表示。多分辨分析的作用是将信号分解成不同空间的部分,另外,它也提供了一种构造小波的统一框架,还能提供数字信号分解与重构的快速算法。然后第二部分详细介绍了小波的分解与重构算法及其基本性质。接下来我们谈了有关逼近的一些性质,为第三章的自适应小波算法作了必要的准备工作。 第三章首先介绍了实现本文的算法需要的一些预备知识,然后在第二部分研究了本文关于自适应小波的设计方案。本文由多分辨分析入手提出如何减小逼近误差的最原始方案,然后说明其本身存在不可逾越的难点,之后本文对问题进行了转化,最后运用最优化算法得到匹配于相应信号的最优正交小波。 第四章的第一部分我们列举了三个一维信号的例子与其他方法进行对比;第二部分我们用本文方法得到的小波对二维图像进行分解与重构。最后,我们对本文的方法进行了总结。