关于退化发展型方程长时间行为的研究

【摘要】：本篇博士论文主要研究下面两类带有Dirichlet边界条件的退化发展型方程和的整体解的存在性,正则性以及对应半群在不同拓扑下的全局吸引子的存在性,其中a∈C(Ω),且在Ω的零测闭子集F上,a(x)=0,而当x∈Ω\F户时,a(x)0.进一步,我们还假设存在α0,使得a(x)满足从某种意义来看,α反映了方程的退化程度. 由于方程可以在一个零测闭集上退化(不仅可以在区域边界上退化,同时也可以在区域内部退化),即,方程的退化点可以有无穷多个聚点,这样就不可能用有限多个锥将a(x)托起,这为我们对方程整体解的存在性,正则性以及解的长时间渐近性质的的研究都带来了一定的困难. 本文,针对方程(Ⅰ)和(Ⅱ)引入了适当的带权Sobolev空间H01,a(Ω)和D01,p(Ω),见定义3.1.1,4.1.1,得到了相应的Poincare不等式,迹定理,见定理3.1.2,4.1.2,3.2.2,4.2.1,以及相关的加权Sobolev空间及其性质,得到了相关的Sobolev嵌入定理,见命题3.1.3,4.1.3.然后我们分别研究了方程(Ⅰ)和(Ⅱ)的整体解的存在性,正则性以及方程解的长时间行为. 对于方程(Ⅰ),我们分两种情况来讨论. 当a∈(0,2),g∈H-1,a(Q)(H01,a(Ω)的对偶空间)时,我们采用Galerkin逼近的方法得到了方程(Ⅰ)弱解的存在.然后通过能量估计和一致紧方法得到了L2(Ω)空间中的全局吸引子的存在性.继而采用渐近先验估计方法(定义参见第二章)分别得到了方程(Ⅰ)所诱导半群在空间Lq(Ω),L2q-2(Ω)(q≥2)中的ω-极限紧性,采用条件(C)方法(定义参见第二章)得到了方程的解所诱导半群在空间H01,a(Ω)中的ω-极限紧性.进而,分别得到了方程的解所诱导半群在Lq(Ω),L2q-2(Q)(q≥2)和H01,a(Ω)中全局吸引子的存在性. 当α∈[2,n+2)时,由于我们只能得到H01,a(Ω)紧嵌入到Lr(Ω)(r2),而不能紧嵌入到L2(Ω),这为我们的研究带来了更大的困难.通过奇异摄动方法结合对非退化方程的适当的先验估计,我们得到了方程(Ⅰ)全局弱解的存在性和对应半群在L2(Ω)中对初始值的连续依赖性.利用非线性项的补偿耗散性得到了空间L2(Ω)中吸收集的存在性,然后,运用H01,a(Ω)紧嵌入到Lr(Ω)不仅得到了方程(Ⅰ)所对应半群的强弱连续性,并进一步得到了方程解所生成半群在空间Lr(Ω),L2(Ω),Lq(Ω)和H01,a(Ω)吸引子的存在性. 对于方程(Ⅱ),我们也分两种情况来讨论. 当α∈(0,p),g∈D-1,p(Ω)(D01,p(Ω)的对偶空间)时,我们通过奇异摄动方法用非退化的p-Laplician方程来逼近原方程得到了方程全局弱解的存在性和解所生成半群在L2(Ω)空间中的连续性；利用紧嵌入的方法得到了空间L2(Ω)中全局吸引子的存在性.进一步,当g∈L2(Ω)时,采用渐近先验估计方法得到了方程解所生成半群在空间Lq(Ω)中的ω-极限紧性,采用渐近紧方法得到了半群在D01,p(Ω)中的紧性,进而得到了Lq(Q)和D01,p(Ω)中全局吸引子的存在性. 然而,当α∈[p,n(p-1)+p)时,由于我们只能得到D01,p(Ω)紧嵌入到Lr(Q)(r可能小于2),这为我们的研究也带来了和方程(Ⅰ)在α∈[2,n+2)时一样的困难.我们仍然通过奇异摄动方法得到了方程(Ⅱ)的全局弱解的存在性,运用D01,p(Q)紧嵌入到Lr(Q)的得到了方程(Ⅱ)所对应半群的强弱连续性.进一步,当外力项g∈D-1,p(Ω)时,得到了方程解所生成半群在空间Lr(Q)中全局吸引子的存在性,继而,当外力项g∈H-1,a(Ω)时,得到了方程解所生成半群在空间L2(Ω),Lq(Ω)和D01,p(Ω)中全局吸引子的存在性.