Helmholtz方程的若干反问题研究

【摘要】：Helmholtz方程在物理、力学等领域具有广泛的应用背景,比如声波、电磁波的传播与散射问题,结构的振动问题等都可以利用它来描述。本文我们主要研究了关于Helmholtz方程的两类不适定问题：Helmholtz方程的Cauchy问题及具有阻抗边界条件的腔体逆散射问题。 本文第二章和第三章分别讨论矩形区域和一般区域上的Helmholtz方程的Cauchy问题。对于矩形区域上的Cauchy问题,我们分别利用三种正则化方法：修正的拟逆方法,修正的Tikhonov正则化方法和截断正则化方法对其进行了求解,得到了它的稳定的正则化解；对于一般区域上的Cauchy问题,我们首先利用Green公式将其转化为矩问题,然后分别利用两种正则化方法：Talenti方法和Tikhonov正则化方法求解了有限的Hausdorff矩问题,进而得到了Cauchy问题稳定的正则化解；对于上述两种区域上的Helmholtz方程Cauchy问题,我们均给出了严格的收敛性分析,数值计算结果也验证了上述方法是有效的、稳定的。 本文第四章我们讨论了具有阻抗边界条件的腔体逆散射问题。我们证明了腔体的形状及其表面阻抗可由腔体内部的一条曲线上的测量数据所唯一确定,进而利用线性采样法及积分方程的理论数值的确定了腔体的边界形状及其表面阻抗,数值结果也表明了我们方法的有效性。