几类抛物型方程逆问题的数值方法研究

【摘要】：本文考虑了抛物型方程的几类逆问题,包括同时反演热源和初值的热传导反问题和带有积分条件的二维抛物型方程边界系数辨识问题.其中,第一类反演初值的问题包括反演部分初值及全部初值,而且它们所带的边界条件也有区别,一种是Dirichlet条件,另一种是Neumann条件. 首先,我们给出了反演热源和部分初值的热传导反问题,通过对未知热源函数作积分变换,将原问题化为齐次问题,将反热源问题化成一个反边界值问题.因此,我们可以用基本解方法来考虑. 其次,我们主要研究了反演热源和全部初值的热传导反问题,通过函数变换的技巧,我们给出了唯一性定理的一种证明.同时,利用这一变换,我们也将该问题化成一个反向热传导问题和一个反热源问题.对于反向热传导问题,我们用基本解方法来求解.而在反演热源的过程中,我们还用到了数值微分的技巧. 最后,我们研究了一类积分条件下的二维抛物型方程反边界系数问题,由于方程本身是齐次的,所以我们采用二维基本解方法来求解. 因为基本解方法得到的系数矩阵是高度病态的,所以我们采用了Tikhonov正则化方法来求解.关于正则化参数的选取,我们利用两种后验选取方式,即广义交叉核实准则和L-曲线方法.而在求解数值微分的过程中,正则化参数是先验选取的. 对于以上的几类问题,我们均给出了若干典型的数值例子来验证我们方法的稳定性和有效性.从数值结果可以看出,本文的方法的确能够很好地解决我们提出的问题.此外,我们还通过数据分析,对本文的一些结论进行了总结.