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鞅论及其在经济中的应用

郭丽丽  
【摘要】:鞅一词原义是“公平赌博”,它首先由法国概率学家P.Levy在20世纪初引进,继Levy作了若干初步工作后,1953年,美国著名概率学家J.L.Doob在《随机过程》一书中首次系统地介绍了鞅(过程)论,使之成为随机过程理论的一个重要的独立分支.这些前提为鞅与随机积分理论的发展开辟了新的道路,也为其后来的发展提供了强有力的工具. 随着鞅论的迅速发展,如今它已成为各种较有深度的概率论及其相应著作的一个标准组成部分,并且在点估计、随机微分方程、统计理论、序贯分析及随机控制等领域有着非常重要的应用. 第二章是本文研究的重点,主要工作有以下几点: (1)去掉对停时有界性的限制,得出结论:停时可保持鞅(下鞅)的结构. (2)通过对L2鞅差列的定义,取消对停时限制,证明出鞅和的平方的期望与平方和期望的大小关系. (3)对下鞅Mn收敛到M∞的条件进行判断,并给出证明. (4)在原有鞅的定义的基础上,给出现实生活中的具体实例.如抛掷硬币、股票盈利等表明鞅在各领域有着广泛的应用. 类似于第二章的讨论,第三章对连续时间鞅从其基本性质、收敛性及分解等方面作了详细描述.主要有: (1)将两离散时问鞅过程平行地对应到两连续时问鞅过程,给出上鞅正交定义并进行判断. (2)给出并证明了连续时间鞅到类D过程的转化条件. 第四章则是对常见类型局部鞅从定义、性质、分解、可料表示等方面着手,阐述讨论局部鞅的必要性.并且通过逼近二次变差这一工具,具体分析了局部鞅的收敛性. 理论应用于实践,第五章通过实例具体描述鞅与随机偏微分方程之间的联系,表明鞅在金融市场领域的重要性.我们在一般偏微分方程的基础上加一扰动因子,如经济危机、政府干预等来分析鞅在经济生活中的应用. 最后一章则是鞅论的前景展望以及有待解决的问题.


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