一类对称动力系统全局吸引子的多重平衡点的存在性问题

【摘要】：本篇博士学位论文的主要目的是研究一类具有Lyapunov泛函和对称性的无穷维动力系统的全局吸引子的拓扑几何性质以及多重平衡点的存在性问题. (一)对一个具有Lyapunov泛函的奇连续半群,全局吸引子(?)会自然具有对称结构,借助于“0是方程对应的Lyapunov泛函的局部极小”这一假设,我们证明了如下的结果： 定理A1设{S(t)}t≥0是x上的一个连续半群,并且满足下列条件：1.对每一固定的t≥0,S(t)：x→x是奇半群2.在X上,半群{s(t)}t≥0有一个C0(?)(?)Lyapunov偶泛函F3.存在X的一个子集M0,满足下列性质：(a)M0是一个对称的紧集,并且,对任意的t≥0有S(t)M0=M0(b)0(?)M0,并且γ(M0)=n 那么,{S(t)}t≥0在M0中至少有n对不同的不动点. 推论在与上述定理相同的前提下,若半群还有全局吸引子(?),则dim((?))≥n. 定理A2假设(?)是方程(3.2)所诱导的半群{S(t)}t≥0的全局吸引子.那么对于充分大的β,半群{S(t)}t≥0在(?)至少有n对不同的平衡点. 定理A3假设μλ1.设(?)是方程(3.11)所诱导的半群{S(t)}t≥0的全局吸引子.那么对于充分大的β,半群{S(t)}t≥0在(?)至少有2n对不同的平衡点.做为推论,我们得到了这种方程对应半群的全局吸引子是无穷维的。 (二)对一个具有Lyapunov泛函的奇连续半群,当原点不是方程所对应的Lyapunov泛函的一个局部极小的时候,我们给出了如下的定理B1.定理A1'设X是一个Banach空间,{S(t))t≥0是X上的一个连续半群.如果{S(t)}t≥0满足下列条件：(A1)S(t)：X→X对任给的t≥0是奇的.(A2){S(t)}t≥0在X中有全局吸引子(?)(A3){S(t)}t≥0在X上有一个C0的Lyapunov(?)偶泛函F.(A4)存在X的两个闭子空间X+、X-满足下列条件：(A41)codimX+≤dimX-∞,并且X=X++X-(A4-2)存在α0,p0使得(A4-3)存在R和0pR使得那么,半群{S(t)}t≥0在(?)∩F-1((0,∞))中拥有至少dimX--codimX+对不同的平衡点. 然后我们应用定理B1对一类反应扩散方程诱导的半群在全局吸引子上的平衡点个数做了估算,得到了如下结论： 定理B2：设(?)是方程(4.5)所诱导的半群{S(t)}t≥0的全局吸引子.那么对于充分大的β,半群{S(t))t≥0在(?)∩F-1((0,∞))上至少有dimX--codimX+对不同的平衡点.