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分数阶Laplace算子的谱理论及其在微分方程中的应用

杨变霞  
【摘要】:本文主要研究带权函数的分数阶Laplace算子的谱理论,作为分数阶Laplace算子谱理论的应用,我们建立了分数阶Laplacian扰动问题的单侧全局分歧现象并考虑了分数阶非线性问题定号解的存在性.本文具体由以下五部分内容组成:首先介绍了分数阶微分方程的发展现状、本文的主要工作、分数阶Laplace算子的定义、分数阶导数和积分的定义及其一些基本性质.其次运用Ljusternik-Schnirelmann理论研究了分数阶Laplace线性微分算子的特征值和特征函数,尤其证明了第一个特征值λ1是简单和孤立的.为了应用的方便,紧接着考虑了分数阶Laplace算子扰动问题的单侧全局分歧定理.假设扰动函数Q满足一些自然的增长条件,我们得到(λ,,0)是问题的分歧点.并且存在从(λ1,0)分歧出的无界连通分支C,它由两个无界的子连通分支c+和c-组成.基于上面的单侧全局分歧定理,我们又研究了一类非线性分数阶微分方程定号解的存在性.这些谱理论和定号解的存在性结果部分地推广了Servadei等人[Discrete Contin.Dyn.Syst.2013],[J.Math.Anal.Appl.2012]及Fiscella[Topol.Methods Nonlinear Anal.2014]的主要结果.接着研究了带不可微非线性项的分数阶微分方程的单侧全局分歧结构,我们分别讨论了从平凡解线和无穷远处产生的分歧.首先得到了从区间[λ1-d,λ1+d]×{0}分歧出一个无界的连通分支C,它由两条无界的子连通分支c+和c-组成.其次证明了从区间[λ-d,λ1+d]×{+∞}分歧出一个无界的连通分支D,它也由两个无界的子连通分支D+和D-组成,其中λ1是相应线性分数阶Laplace微分算子的主特征值,d,d是正常数.基于该单侧全局区间分歧理论,我们获得了分数阶半线性算子主半特征值的存在性,进一步研究了一类分数阶非线性问题定号解的存在性.这一章的主要结果把带有不可微非线性项的古典椭圆微分方程的单侧全局区间分歧定理推广到分数阶情形,并获得了分数阶半线性特征值问题主半特征值的存在性.这些结果在分数阶情形下是新的.然后运用拓扑度和Rabinowitz全局分歧定理,研究了分数阶两点边值问题正解解集连通分支的全局结构,其中RD0+α表示α∈(1,2]阶Riemann-Liouville分数阶导数,λ0是一实参数.本章的主要结果推广并改进了Bai et al [J. Math. Anal. Appl.2005]的主要结果.最后讨论了分数阶微分包含问题解的存在性,其中0Dx-β和xD1-β分别表示β∈(0,1)阶左和右Riemann-Liouville积分,0p=1-q1并且F:[0,1]×R→R关于第二变元满足局部Lipschitz条件.由于常数p和q仅仅满足p+q=1,所以上述问题没有变分结构.尽管如此,我们运用非光滑临界点理论再结合迭代技巧,获得了上述分数阶微分包含问题解的存在性.本章主要结果推广了p=q=1/2时文Teng et al [Appl. Math. Comput.20131的结果.


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