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带输入项的SIR传染病扩散模型的行波解

李燕  
【摘要】:在传染病领域,行波解的研究具有非常重要的实际意义,行波解存在意味着传染病以常数速度在空间中的传播.由于行波解即使在微小扰动下其性质也可能发生本质改变,因此对行波解的定性性质诸如行波解的渐近行为、稳定性及唯一性等问题的研究也十分重要.然而,传染病模型的行波解是非常困难的课题,主要原因是此类系统不是合作系统.当前这方面的工作大部分致力于行波解存在性的研究.本文研究一类带输入项的扩散SIR传染病模型的行波解的最小波速及其非单调性、稳定性、唯一性等定性性质.主要工作如下:首先研究了具有输入项的反应扩散SIR传染病模型的行波解的最小波速及衰减振动波的存在性.通过讨论行波解(包括临界波)的存在性与非存在性,得到临界波速即为最小波速的结论.由于系统是非合作的,行波解不具有单调性,临界波的存在性也不能简单的通过取极限的方法得到,此时验证行波解(包括临界波)满足边界条件成为难点,我们通过构造适当的Lyapunov函数并运用渐近传播理论来解决了这一困难.我们还讨论了该模型的衰减振动行波解的存在性,由此得出输入项会诱导产生时空衰减振动行为.其次研究了SIR模型的行波解的稳定性和唯一性.我们首先采用加权能量方法证明了该系统在小初始扰动(即行波解附近的初始扰动在加权范数意义下是适当小的)下行波解的局部指数渐近稳定性.然后运用Ikehara’s定理证得行波解在-∞一端的精确的渐近行为,并结合稳定性定理,得到行波解在平移意义下是唯一的.需要指出的是,我们所选取的加权函数ω(·)满足ω(+∞)=0,与先前的工作有本质的不同.加权函数的选取带来了额外的困难,但得到的稳定性结论对初始扰动的限制较之于先前的工作更弱.最后我们研究了SIR传染病模型的非局部扩散情况.我们详细研究了其行波解的最小波速、局部指数渐近稳定性和唯一性等性质,并讨论了扩散的非局部性对行波解产生的影响.结论表明:随着非局部性增强,行波解的最小波速增大,且初值问题的解收敛到行波解的收敛率减慢.


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