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《兰州大学》 2019年
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关于Virasoro代数与一类Block代数结构与表示的若干问题

刘学文  
【摘要】:无限维李代数是现代李理论的中心研究课题之一.本文主要研究了关于Virasoro代数与一类Block李代数B(q)的结构与表示的若干问题.Virasoro代数是最重要的无限维李代数之一,其表示理论在Kac-Moody代数,顶点算子代数,量子物理,共形场论等领域都有重要的应用.最近几年,关于Virasoro代数的非权模出现了很多重要的结果,很多作者利用不同的方法和技巧构造出多种类型的非权单模,其中结构最为简单的是一类?模.另一类重要的单模是正部作用局部有限单模,这种模是最高权模和Whittaker模的共同推广.本文的第一个主要内容就是,研究了Virasoro代数上若干个?模与(广义)正部作用局部有限单模的张量积问题.我们确定了这些张量积模的结构与不可约性,给出了不同张量积模之间的同构关系,并证明了这些单模是新的,即,不同构于在此之前已知的其他单模.微分(结合)代数是一个包含微分Galois理论和微分代数几何在内的广泛的研究领域,同时差分代数也有一套平行的理论.为了同时研究微分代数和差分代数,郭锂和W.Keigher引入了λ-微分代数的概念.本文把这个概念拓展到了李代数领域,得到了λ-微分李代数及λ-微分模的概念.作为一个重要例子,我们完全确定了λ非零时,Virasoro代数的λ-微分李代数结构.然后,我们对一些重要的Virasoro模,如Verma模,中间序列模,?模等,确定了它们的λ-微分模结构.Block代数B(q)是另一类重要的无限维李代数,其中q是任意复数.当2q不是整数时,B(q)是一个单代数,而且是除了秩为1的Witt代数(无中心的Virasoro代数)外,结构最为简单的无限维李代数.双导子是导子的推广,是确定交换映射的重要工具.本文建立了一个确定李代数双导子的新方法,利用这个方法,我们完全确定了Block代数B(q)的双导子,并进一步确定了B(q)的交换映射.U((?))-自由模是李代数研究领域最近出现的一类新模,其中U((?))是对应李代数的Cartan子代数的泛包络代数.国内外很多学者相继深入研究了许多李代数的U((?))-自由模,如有限维单代数,Virasoro代数,Witt代数等.本文构造并研究了Block代数B(q)的U((?))-自由模,给出了秩为1的U((?))-自由模的完全刻画,给出了它们的不可约性和子模结构,以及互相之间的同构关系.
【学位授予单位】:兰州大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2019
【分类号】:O152.5

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