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《兰州大学》 2019年
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几类流体动力学方程解的长时间行为研究

宋小亚  
【摘要】:本篇博士论文中,我们主要研究定义在变区域上的2D Navier-Stokes方程、2D MHD方程的解的长时间行为,以及柱形区域上带时滞项的2D MHD方程的解的渐近动力学行为.不同于柱形区域,由于空间区域随时间变化,变区域问题的数学处理常常具有特殊的困难,特别是在函数空间的选取、解的定义、解的适定性的证明以及长时间行为的刻画等方面.关于定义在变区域上带齐次狄利克雷边界条件的2D Navier-Stokes方程与2D MHD方程,除却以上困难,空间区域的改变亦对压力项p的处理带来本质性问题.本文中,当R2中的变区域Ot由某个有界基域O借助于微分同胚r(·,t)得到时,首先,我们引入特殊的坐标变换建立了变区域和柱形区域上散度算子的不变性以及向量的一些等价估计,从而证明了弱解的适定性.然后,在关于空间区域(随时间改变)和外力项的合适的假设下,我们构造了系统的拉回吸收集,并应用有限ε-网的方法证明了拉回吸收集是相对紧的.最后得到了两类系统的拉回吸引子的存在性(见本文第三章和第五章).在这一部分,我们以流体动力学方程为背景模型,研究空间区域的改变对具体方程带来的影响,既能为揭示变区域问题的本质困难提供新的角度,又能为变区域上吸引子的结构和复杂性描述提供一个有效的切入口.为了更真实地描述物理学与生物学等自然科学领域中的某些现象,关于柱形区域上的2D MHD方程我们引入时滞项.与不带时滞项的2D MHD方程相比,此模型中时滞项g1(t,ut)和g2(t,Bt)的非自治固有性导致了一些数学困难,尤其是紧性等方面的问题.本文中,我们应用Faedo-Galerkin方法建立了强解和弱解的适定性,并借助于一些能量泛函证明了解过程的紧性,进而得到了拉回吸引子的存在性(见本文第四章).此模型的引入不仅丰富了无穷维动力系统的相关内容,而且为流体动力学模型的后续研究工作起到积极的促进作用.
【学位授予单位】:兰州大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2019
【分类号】:O175

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