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《兰州大学》 2019年
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两类带有退化算子的耗散系统的长时间动力学行为

李丹丹  
【摘要】:本篇博士论文中我们主要考虑两类耗散型退化方程解的渐近动力学行为:退化抛物方程和退化双曲方程。我们运用无穷维动力系统的吸引子理论,结合方程的特征和困难对方程建立了一些新的先验估计,得到一系列新颖的结果。对于带有退化算子△_λ的抛物方程,当方程的非线性项满足临界增长时,我们考虑方程解的长时间行为。该问题的难点在于退化算子△_λ的性质以及临界的非线性项导致的紧性缺失。我们利用紧性的理论,对非线性项进行分解,针对不同的分解方程得到其解的先验估计从而得到其渐近紧性,并最终运用吸引子理论得到方程解对应半群在空间W_λ~(1,2)(Ω)的全局吸引子存在性。对于退化双曲方程,我们分别考虑了带有退化算子X-椭圆算子的阻尼项系数是常值的双曲方程和带有时间相关的阻尼系数的双曲方程。由于双曲方程具有弱耗散性,其解算子缺乏正则化效应,因此双曲方程比抛物方程更具有本质性的困难。在第四章,我们研究带有退化算子的阻尼波方程在临界非线性项下的解的长时间行为。在利用算子半群的理论得到方程弱解的存在唯一性之后,为了克服波方程的弱耗散性,我们利用闸函数的方法得到方程对应弱解吸收集的存在性;然后我们用算子分解的方法克服了临界的非线性项带来的困难从而证明了渐近紧性,进而证明了该方程在X~(1/2)× L~2(Ω)上存在全局吸引子。在第五章,我们研究了带有时间相关的阻尼系数的双曲方程在临界非线性项下解的长时间行为。该问题的难点主要在于退化算子X-椭圆算子带来的空间本身性质的变化、可以为负的阻尼系数使得方程的耗散性难以判定以及临界非线性项导致的紧性缺失。特别地,因为可以为负的阻尼系数使得方程难以用一般的方法去证明耗散性,所以我们在文中关于阻尼系数提出额外的技巧性假设。据我们所知,这是第一次用无穷维动力系统的理论研究阻尼系数依赖于时间且部分为负的弱阻尼波方程。针对可以为负的阻尼系数带来的困难,我们将时间分段后对解的能量范数分部估计得到有界吸收集,然后再将方程分解为两部分,一部分得到其耗散性,而另一部分得到其光滑性,从而说明方程的解具有渐近紧性。这样我们就证明了方程在X~(1/2)×L~2(Ω)上存在拉回吸引子,并且根据方程分解得到的性质进一步证明了拉回吸引子分形维数的有限性。
【学位授予单位】:兰州大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2019
【分类号】:O175

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