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《兰州大学》 2019年
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强H-张量的判定与张量特征值的估计

许洋洋  
【摘要】:数值多重线性代数作为数值线性代数的推广和发展,是计算数学和应用数学的一个新分支.在数值多重线性代数中,张量作为主要的研究对象,它的相关问题近些年来已经成为一个热点话题,特别是结构张量的判定问题和高阶张量的特征值问题.然而,在理论和实际应用中,许多结构张量的检测或判定往往是比较困难的,同时,对大中型张量所有特征值的精确计算一般也是不容易做到的.基于此,本学位论文主要研究了一类重要的且不容易判定的结构张量—强H-张量,并且探索了一些Ky-Fan型张量特征值定位集以及张量的Hadamard积和Fan积的谱理论.具体内容包括下面几部分:首先,我们给出了几个仅取决于给定张量元素的强H-张量的直接判定准则,这些实用性判定准则可以判定一些张量是强H-张量,但这些张量不能应用现有文献中给出的一些判定准则来判定是否是强H-张量.此外,还建立了一些强H-张量的充分必要条件.作为这些准则的重要应用,得到了判定一类偶次多元齐次多项式正定性的几个充分条件.为了更好地阐述这些事实,给出了一些数值算例.其次,我们提出了两个强H-张量的非参数迭代判别算法,这两个判别算法克服了一些现有文献中给出的判别算法选择最佳参数值的缺陷.同时,对这两个强H-张量的非参数迭代判别算法分别做了较为详细的理论分析.通过一些数值实验,阐述了这两个强H-张量的非参数迭代判别算法的可行性和有效性.再次,为了定位给定张量的所有特征值,探讨了两类Ky-Fan型张量特征值定位集(基于非负张量的Ky-Fan型张量特征值定位集和基于Z—张量的Ky-Fan型张量特征值定位集),这两类新的特征值定位集分别改进了一些现有文献中的相应Ky-Fan型张量特征值定位集.在一定条件下,分别建立了新提出的Ky-Fan型张量特征值定位集的理论比较.作为上述理论的重要应用,得到了一些判定强M-张量,张量非奇异性和正定性的充分条件.相应的数值算例验证了主要理论结果的合理性和有效性.最后,我们给出了非负张量Hadamard积谱半径的几个新上界.为了说明这些上界的紧性,建立了这些上界之间的理论比较,包括与现有文献(Some inequalities for the Hadamard product of tensors.Linear Multilinear Algebra 2018,66:1199-1214)中的一个上界的理论比较.同时,将非负矩阵Hadamard幂的Hadamard积谱半径的一些重要不等式推广到了高阶张量上.此外,还给出了不可约强M-张量Fan积最小特征值的几个下界,并且在不同条件下讨论了这几个下界之间的理论比较.为了验证主要的理论结果,给出了一些数值算例.
【学位授予单位】:兰州大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2019
【分类号】:O183.2

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