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《兰州大学》 2019年
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非齐次Schr?dinger方程解的性质研究

彭聪明  
【摘要】:这篇博士学位论文:主要研究如下形式的非齐次非线性Schrodinger方程i(?)tu—(-△)su+|x|k|u|2σu=0,(t,x)∈R×RN,其中1/2s ≤1,k=±b(b0).我们主要研究方程的解整体存在及在有限时刻爆破的充分条件,爆破解的动力学行为,极限行为和驻波解的稳定性及强不稳定性等.本文考虑了四种情形:1)S=1,k=±b,(b0),2+k/N≤σmin{2,2+k/N-2,2(1+k)+N/2N}(N≥3,k-2);2)s=l,k=-b(0b1),σ=2+k/N(N≥2,k-2);3)1/2s1,k=-b0,2s-b/n≤σ2s-/N-2s(N≥2,b2s);4)1/2s1,k=-b0,0σ≤2s-b/N(N≥2,b2s).对于情形1),主要研究了爆破解在爆破时刻的极限行为.我们证明了若σ=2+k/N,||u(t)||H1在时刻T*爆破,则当t→T*时,u(t)没有L2极限.特别地,对径向对称爆破解,解在原点处具有L2集中现象.进而,若2+k/Nσmin{2,2+k,2(1+k)+N/2N},则存在唯一的u*∈L2(RN)使得当t→T*时,在空间Lr(RN)中T(-t)u(t)→T(—T*)u*(r∈[2,2*)).这一结论延拓了 Merle在1990年前后当k=0时的结果,对于情形2),研究了当初值φ∈H1(RN)而且满足||φ||L2≥||Q||L2时爆破解的动力学行为,其中Q是问题的基态解.进而,我们还得到了当||φ||L2 =||Q||L2时爆破解的具体形式.对于情形3),证明了一个分数次加权Gagliardo-Nirenberg不等式并利用该不等式证明了在能量空间Hs(RN)中解整体存在的充分条件.另外,利用(一△)s半群理论中的 Balakrishnan公式,给出了分数阶非齐次Schrodinger方程解的局部化Virial估计.利用这些估计,得到了RN中L2临界,L2超临界Hs次临界情形下径向解在有限时刻爆破的充分条件.对于情形4),研究了方程驻波解的稳定性及强不稳定性.利用情形3)研究中得到的Gagliardo-Nirenberg不等式和波形分解,我们得到在L2次临界情形,即0σ2s-b/N时,解整体存在且具有轨道稳定性.在L2临界情形,即σ= 2s-b/N时,基态孤立波是强不稳定的。
【学位授予单位】:兰州大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2019
【分类号】:O175

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