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《兰州大学》 2019年
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分数阶扩散方程的两类反问题研究

李玉山  
【摘要】:在过去的三十多年里,分数扩散方程出现在与反常扩散有关的各种科学和工程问题中,这与经典的布朗运动不太一致,常常出现在数学、物理、化学以及生物等领域。关于分数阶扩散方程的反问题也得到了广泛关注,出现了许多研究成果。本文考虑分数阶扩散方程的两类反问题:时间分数阶扩散方程的扩散系数辨识问题,多项时间分数阶扩散方程和时间-空间分数阶扩散方程的反源问题。本文的第一部分,考虑由边界Cauchy数据,利用共轭梯度算法识别一维时间分数阶扩散方程的只依赖于空间的扩散系数。首先给出正问题弱解的存在性和唯一性,随后将识别扩散系数问题通过Tikhonov型正则化方法表示为变分问题,并给出变分问题极小元的存在性、稳定性以及逼近精确扩散系数的收敛性,基于导出的灵敏度问题和共轭问题,利用共轭梯度算法求解变分问题。最后通过三个数值例子表明提出的方法是有效的。在第二部分,研究利用边界Cauchy数据反演多项时间分数阶扩散系只依赖于时间的源项。给出具有齐次Neumann边界条件的正问题弱解的正则性,并且证明了识别只依赖于时间源项的唯一性和稳定性估计。接着,利用Tikhonov正则化方法将反问题表示为一个变分问题。借助推导出的灵敏度问题和共轭问题,利用共轭梯度算法寻找只依赖于时间源项的近似解。最后,给出五个一维和二维例子的数值实验,结果表明提出的方法是有效并且稳定的。第三部分,考虑利用初始和边界条件以及内部点的测量数据,反演时间-空间分数阶扩散方程只依赖于时间的源项。首先给出正问题弱解的存在性和唯一性的证明,接着给出反源问题的唯一性和稳定性估计。基于分离变量法,将反问题转化为源项为未知函数的第一类Volterra积分方程,并说明这是一个不适定问题。随后,利用边界元离散结合广义的Tikhonov正则化方法求解这个第一类Volterra积分方程,利用广义的交叉核式方法选取正则化参数,得到稳定的关于源项的近似解。六个一维和二维的数值例子说明了方法的有效性和稳定性。
【学位授予单位】:兰州大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2019
【分类号】:O175

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