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R~N上一类p(x)-Laplacian方程的正解

刘少伟  
【摘要】: 我们在全空间R~N上考虑了的一类p(x)-Laplacian方程的正解存在性问题.即如下的非线性p(x)-Laplacian方程. 其中λ∈C(R~N),λ≥0;g∈C((0,∞)),g≥0为局部H(?)lder连续函数.其中,p(x)为径向对称H(?)lder连续函数,即p(x)=p(|x|)=p(r),1<p~-≤p(|x|)≤p~+<∞.其中p~+=sup p(x),p~-=inf p(x). 我们主要考虑上述方程具有性质lim_(|x|→∞)u(x)=正常数的解的存在性。对于此类问题,因为考虑的是R~N上的非线性方程,所考虑的解u(x)具有性质lim_(|x|→∞)u(x)=正常数。即并非0边值的解,因而不能使用空间W~(1,p(x))(R~N)。因此我们在空间W_(loc)~(1,p(x))(R~N)中去考虑解的存在性。这样,因为空间W_(loc)~(1,p(x))(R~N)≠W~(1,p(x))(R~N),同样W_(loc)~(1,p(x))(R~N)≠D~(1,p(x))(R~N)。在空间W_(loc)~(1,p(x))(R~N)中无法定义范数,这样就造成用一般的变分法就无法对问题进行处理。 因此本文采用上下解方法对方程进行处理. 我们首先研究了右端λ为径向对称函数时方程的解。这时我们得到在此条件下方程正解的存在性,及解的一些性质。 然后我们再考虑λ为非径向对称函数时方程的解。我们用上下解方法对其进行处理。首先我们把相应的上下解原理推广到p(x)问题上。再利用λ为径向对称函数时方程的解的一些性质去构造一般情形下方程的上下解。并由此得到结论。即此类方程在一定条件下存在无穷多个有界的正解.并且每一个正解在无穷远处都收敛到一个正常数.而且这些解有一个共同的正下界。


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