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带有动力边界条件的两类偏微分方程解的长时间行为

范兆慧  
【摘要】: 在这篇博士学位论文中,我们主要考虑了如下两类带有动力边界条件的偏微分方程和的解的全局吸引子的存在性。 对于第一类方程,可以把它看成是方程组。注意到矩阵方程主部算子的特性,使用单位特征函数作为标准正交基底,采用了Fadeo-Galerkin过程证明了非线性项是任意次多项式增长时,这类方程存在全局解。然后使用强弱连续半群的概念,考虑了带有非线性动力边界条件的抛物方程的几类全局吸引子的存在性,即,(L~2(Ω)×L~2(Γ),L~r(Ω)×L~r(Γ)),L~p(Ω)×L~q(Γ)),(H~1(Ω)∩L~p(Ω))×L~q(Γ)中的全局吸引子的存在性。从理论框架上来说,我们把渐近先验估计方法推广到了特殊的乘积空间。从应用角度来讲,我们成功地解决了带有非线性动力边界方程的几类全局吸引子的存在性,结合解的正则性把这种渐近先验估计方法运用到了这种模型的的全局吸引子存在性问题上,得到了较为满意的结果。 对于第二类方程,我们主要考虑其强解的全局吸引子的存在性。对于仅含边界阻尼的波方程,通过在空间构造标准正交基底,验证了相对应半群满足条件(C),从而得到了在星型域内得到了强解的全局吸引子的存在性。作为对含有边界阻尼的双曲方程的研究的一点尝试,我们又考虑了同时含内部弱阻尼和边界非线性阻尼的双曲方程的强解的全局吸引子问题,得到其非线性项即使达到在弱解意义下临界指数增长时,同样有强解的全局吸引子是存在的,并且对于光滑区域没有限制其它任何几何条件。


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