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对称区域上几类热传导反问题的正则化方法

程炜  
【摘要】: 热传导反问题,特别是逆热传导问题及其定常状态下的Laplace方程的Cauchy问题,反向热传导问题,未知源识别问题等在工程领域都有着广泛的应用。这些问题都是经典的不适定问题,并在一维情形已经建立了一些比较深刻的理论和非常有效的算法。但正如D.A.Murio所指出的这些问题在高维情形的研究存在着极大的难度。到目前为止除了一些数值模拟方面的工作之外,其理论方面的研究,尤其是正则化方法的使用、收敛速度的准确估计等结果很少见到。本文拟对高维情形的相关问题进行理论探索。考虑到问题的难度,我们主要针对二维和三维空间中某些对称区域上的问题进行探讨。这些区域上的问题或者是实际问题中最常出现的,有着明显的实际背景,或者能为我们的理论探索提供一些突破点。 本文的内容主要由以下四章组成。第二章主要研究对称区域上的高维反向热传导问题。在一定先验光滑性假设下,采用简化的Tikhonov正则化方法和谱截断方法去恢复这些不适定问题解的稳定性,并且通过选取各自适当的正则化参数两种方法均得到正则解在0<t<T时很强的收敛性估计和初始时刻t=0的对数型误差估计。 第三章则探讨对称区域上的高维逆热传导问题。首先利用Fourier变换结合特殊函数的性质导出正问题解的表达式且说明了此问题的不适定性。然后采用三种有效的正则化方法去恢复这些问题解的稳定性。为了给出稳定性分析,我们克服很大困难,结合特殊函数的性质构造并证明了相关的重要不等式。通过选取各自适当的正则化参数,三种方法均获得很强的收敛性估计。同时部分正则化方法还补充了对热流的稳定性估计。球型区域上关于温度分布的工作成果已被两个杂志(SCI)接收。 第四章讨论对称区域上的未知热源识别问题。利用变量分离方法结合特殊函数的性质推出问题解的表达式,并阐述了问题的不适定性。然后采用两种正则化方法构造出可以稳定地逼近精确解的正则解。最后通过选取各自适当的正则化参数,两种方法均获得对数型的稳定性估计,同时证明了问题解的唯一性。 第五章我们采用一种正则化方法讨论高维Laplace方程的Cauchy问题,以恢复该问题解的稳定性。通过建立一个重要的不等式和提高先验光滑条件,获得了对数—Holder型的误差估计,且得到了解在边界上的收敛性估计。


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