关于两类反应扩散方程全局吸引子的存在性以及全局吸引子局部结构的研究

【摘要】： 在这篇博士学位论文中，我们主要研究如下的两类反应扩散方程和解的长时间行为，主要是全局吸引子存在性和局部几何结构问题． 对于第一类方程，我们从方程弱解的存在性出发，应用强弱连续半群的概念以及相关的判断吸引子存在性的方法，在f(u)是任意次多项式增长且λ0是任意常数的情况下，得到方程在空间L~q(Ω)和H_0~1(Ω)全局吸引子的存在性．而后，对全局吸引子的维数下界做出估计．从理论上说，应用Z_2指标理论，我们提供了一种新的方法估计吸引子维数的下界．这种方法适用于解半群连续且关于初值是奇映射的方程，在应用中我们需要找到一个关于原点对称的集合B，此集合在半群作用下不会走到零点，然后根据Z_2指标和全局吸引子的相关性质可得吸引子除去零点以外的部分的Z_2指标比B的Z_2指标大，这样由紧集合Z_2指标和维数之间的关系可得吸引子的维数下界．而且，结合方程(I)，我们分析了具有Lyapunov泛函的系统应用此方法的过程．需要说明的是，这种方法对半群的可微性不做任何要求，这与经典的理论(见[8，86])比较起来有一定优势． 第二类方程的非线性项是连续的，由于没有Lipschitz条件，方程的解没有唯一性，因此，需要用到多值半流理论研究解的长时间行为．针对此方程，我们首先从理论上给出广义半流在没有上半连续性条件下全局吸引子存在性的抽象性结果，其中，我们用广义半流的ω-极限紧性代替以往文献中其它类型的紧性，而且给出了ω-极限紧性的一个判定方法，即条件(C)．由于广义半流没有上半连续性，文章中得到的吸引子没有不变性，只有最小性，即是所有闭的吸引集中最小的．然后，应用所给的抽象结果得到第二类方程在f(u)是次临界指数多项式增长条件下，在空间L~2(Ω)中全局吸引子的存在性．在验证解半流的ω-极限紧性的时候，我们应用了非经典能量估计方法(见[95])．