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双非线性抛物型方程解的长时间行为

李永军  
【摘要】: 双非线性抛物型方程在金属材料合成中有着重要的应用价值,但人们对其解的形态以及动力学行为了解甚少.在这篇博士学位论文中考虑如下形式的双非线性抛物型方程:其中α和f是任意次多项式增长的非线性函数,Ω是R~N中的有界光滑区域.由于非线性项α的存在,给该问题的研究带来了很大的困难. 首先,我们采用Faedo-Galerkin逼近方法,对更一般形式的双非线性P-Laplacian方程,证明了解的存在性.其次,利用传统的能量估计方法,非线性项α和f在适当的假设下证明了方程(*)的解在不同意义下的正则性.最后,利用符号函数并结合极大值原理,得到了解在L~1(Ω)中的唯一性和对初值的连续依赖性. 为了得到解的长时间行为,引入了强弱连续半群理论(文献[19]).通过Legendre变换,首先证明了解半群S(t)在(L~(r+2)(Ω),L~2(Ω))中全局吸引子的存在性.其次,通过构造新的半群T(t),并结合渐近先验估计方法,证明了半群T(t)在(L~(r+2/r+1)(Ω),L~(q/r+1)(Ω))中全局吸引子的存在性.最后,利用半群T(t)和S(t)之间的关系,证明了半群S(t)在(L~(r+2)(Ω),L~q(Ω))中全局吸引子的存在性.当空问维数N≤2时,得到了半群S(t)在(L~(r+2)(Ω),H_0~1(Ω))中全局吸引子的存在性.与文献[10,82]相比,我们对非线性项α的假设更一般.


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