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基于保单进入过程的保险风险理论及其应用研究

肖鸿民  
【摘要】: 风险理论是应用概率论的重要分支之一,是保险数学的主要研究方向.本文针对我们近年提出的基于进入过程的保险风险模型(我们称为LIG模型),在概率极限理论、保险风险理论、重尾分布理论以及可靠性理论的基础上,从风险过程的极限性质、净支付过程的精细大偏差到破产概率的上界、破产概率的渐近估计等方面对这一模型进行了研究,得到了一系列有意义的结果.作为一个应用,我们还将LIG模型与可靠性系统对应起来,导出了一类推广的累积冲击模型,得到了冲击过程的极限性质、系统寿命的分布等结果.本文的结论不仅丰富了保险风险理论,而且对随机和的理论及应用研究进行了有价值的探索. 本文内容分为七章.第一章首先综述了经典风险理论研究的发展历程,列出了一些重要的结论,并对经典风险模型的各种推广形式进行了总结.在此基础上,通过对保险公司运营过程的分析,我们认识到保单进入过程和赔付过程之间具有密切的关系,并据此建立LIG模型.与经典模型不同,该模型从保单开始进入起即进行跟踪记录,直至保期结束.这样的记录没有任何信息损失,能够忠实地反映保险公司的运营过程.本文的结论表明,LIG模型是对经典保险风险模型的推广和发展,具有更为现实的背景. 第二章将盈余过程置于现实的市场环境中考虑,构造了带利息力的模型,研究风险过程的极限性质.在进入过程为非齐次Poisson过程的假设下,风险过程自然具有无穷可分性;利用无穷可分理论,我们可以得到关于风险过程弱极限性质的三个主要结果.首先,依据Feller的canonical测度理论,我们得到了正则化风险过程依分布收敛到stable分布的条件:H(x;t,s)∈DA(G_α),0<α<2.即当每张保单的净利润属于某一stable分布的吸引域时,正则化风险过程弱收敛到指标相同的stable分布.其次,为使这一结论更加具体,我们针对一个特殊的模型,进一步讨论当索赔额Y是正则尾变化的随机变量时风险过程的弱收敛性质.最后,我们应用这个结果,发现当不同保期保单的赔付额Y~j服从不同正则指数的重尾分布时,风险过程的极限性质将由诸正则指数中的最小者决定.这是一个非常有意义的结果. 在第三章,我们建立了重尾索赔条件下风险过程的精细大偏差结果.精细大偏差是保险数学的理论主题之一,近年来许多学者把研究焦点集中于重尾赔付下总索赔额过程的大偏差性质.对于经典模型,其本质是研究随机变量的随机和的精细大偏差.本章则针对LIG模型,首先在进入过程为非齐次Poisson过程的假设下,当索赔额的分布属于C族时,得到了单一险种保单条件下风险过程的精细大偏差结果.以此为基础,当保险公司提供κ类不同险种的保单时,同样在C族中,我们可以得到风险过程的精细大偏差结果.值得注意的是,由于LIG模型的结构,本章研究的问题是关于随机过程的随机和的精细大偏差. 破产概率是保险风险理论最为关注的内容之一.第四章主要在轻尾索赔条件下,通过适当定义安全负载,讨论LIG模型的有限时间破产概率和最终破产概率.§4.1回顾了经典的Lundberg-Cramer风险理论,使本章的讨论具有适当的目标.§4.2针对一类特殊的风险模型,通过鞅构造方法得到了最终破产概率的指数上界.将这个模型推广到更一般的情况,通过它与一个平稳独立增量过程的关系,我们再次利用鞅方法在§4.3、§4.4建立了LIG模型的最终破产概率的指数上界,并通过计算各阶矩和数值模拟对该上界进行了分析.§4.5讨论了有限时间破产概率,分别得到两类上界.本章关于破产概率的结果与经典风险模型的相应结果是类似的. 第五章的研究对象是重尾索赔条件下的破产概率,这是经典风险理论的重要研究内容,也是近年来保险数学的研究热点.首先,当索赔额属于次指数分布族时,针对一次和多次索赔模型,我们得到了当进入过程是非齐次Poisson过程下,LIG模型的有限时间破产概率的渐近表达.其次,我们将进入过程推广到更新过程,并考虑带有常数利息力的情形,在索赔额具有正则尾分布的条件下也得到了最终破产概率的渐近表达.作为推论,还得到了齐次Poisson进入过程条件下最终破产概率的一个简洁表达.本章结果表明,对于LIG模型,我们不仅可以得到与经典模型类似的破产概率渐近性质,而且可以将进入过程推广到更新过程. 第六章讨论LIG模型的应用.通过与冲击模型的基本结构的比较,我们发现LIG模型恰好对应着一类具有发射噪声结构的累积冲击模型,这是对经典的累积冲击模型的一个推广.基于这一发现,我们的LIG模型以及前几章的结论将不仅在理论上、而且在现实方面具有了更广泛的背景.在本章,我们将依据前文有关方法和结果获得推广的累积冲击过程的弱极限定理,并得到不同冲击(轻尾及重尾分布)条件下系统失效概率及其寿命的一系列估计结果. 第七章对本文的下一步研究工作进行了展望.


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