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《兰州大学》 2010年
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二维格上具有年龄结构单种群模型的行波解

程翠平  
【摘要】: 格微分系统通常表现为由定义在具有几何结构的格上(例如,在D维空间中,由实数中的全体整数组成的格ZD)的无穷多个常微分方程耦合而成的系统,其在材料科学、图像处理、化学反应、生物学等学科领域有着广泛的实际应用背景.计算机出现后,数值计算成为格微分方程的另一个重要应用背景.同连续的偏微分方程相比,格微分系统拥有更复杂和更丰富的动力学行为.在格微分方程的研究中,行波解问题是非常重要的课题之一并已有许多重要的结果.本文主要研究在种群动力学中有重要应用的一类描述二维格上带有年龄结构的单种群增长的格微分方程的行波解,主要内容分为四部分进行阐述: 首先在单稳的假设下,运用加权能量方法证明了在非成熟个体不具有空间扩散能力时,如果初值函数在加权范数意义下相对波前解是一个小扰动,那么该模型行波解是指数渐近稳定的.进一步,这些结果可以自然地推广到二维格上一般的具有时滞特性的Fisher-KPP型动力系统. 其次,在对应的ODEs系统存在连接平衡点和周期解的异宿轨的前提下,建立了该模型连接平衡点和周期解的大波速行波解的存在性.主要方法是将波廓U的抽象表达式看作是Banach空间中的算子方程的解,然后运用Fredholm算子的指标理论以及对非线性项的精确估计保证了在对应的反应方程异宿轨的邻域内存在连接平衡点和周期轨道的大波速行波解.同时,在对应的反应方程存在周期解时,利用相似的方法,我们还可以得到该模型围绕正平衡点的周期行波解的存在性. 第三部分在双稳的假设下,考虑了系统行波解对小时滞的持久性.在拟单调条件满足时,已有的结果表明非局部时滞格微分系统的行波解的存在性与不带时滞情形的结果相似.而当拟单调条件不满足时,行波解形态会变得复杂,甚至出现周期波(如第三章所述).第四章,利用由Mallet-Paret发展的关于混合型泛函微分方程Fredholm二择一定理和Green函数,证明了在双稳的假设下,系统的波速不为零的波前解对小时滞是保持的,即在波前解存在的意义下,“小时滞是无害的”. 自然界中,很多空间环境都是非齐次的,其中最典型的是周期环境.本文最后在单稳的假设下,研究了周期环境下的单稳行波解.通过构造合适的上下解,证明了行波解的存在性和单调性,然后运用基于上下解方法和比较原理的挤压技术证明了行波解的渐近稳定性和唯一性.
【学位授予单位】:兰州大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2010
【分类号】:O175

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